Zadanie 1
Zredukuj wyrazy podobne
7x − 4y + 5x + 9y − 3
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Grupujemy wyrazy podobne:
(7x + 5x) + (−4y + 9y) − 3 = 12x + 5y − 3.
(7x + 5x) + (−4y + 9y) − 3 = 12x + 5y − 3.
Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenia algebraiczne – wzory i zadania
Wyrażenia algebraiczne zawierają liczby, litery oraz znaki działań. Litery oznaczają zmienne, czyli liczby, których wartość może się zmieniać. Naucz się rozpoznawać wyrazy podobne, redukować je, usuwać nawiasy i przekształcać wyrażenia.
1. Co to jest wyrażenie algebraiczne?
Przykładem jest wyrażenie 4x + 3y − 7. Litery x i y są zmiennymi, liczby 4 i 3 stojące przy zmiennych są współczynnikami, a −7 jest wyrazem wolnym.
4x + 3y − 7
4x i 3y to jednomiany, natomiast całe wyrażenie jest sumą algebraiczną.
2. Wyrazy podobne
Wyrazy podobne mają dokładnie tę samą część literową. Możemy je dodawać i odejmować.
7x + 4x = 11x
9a² − 3a² = 6a²
Natomiast 3x i 3x² nie są wyrazami podobnymi.
3. Redukcja wyrazów podobnych
Grupujemy składniki z taką samą częścią literową, a następnie wykonujemy działania na ich współczynnikach.
5x + 3y − 2x + 4y = (5x − 2x) + (3y + 4y)
(5x − 2x) + (3y + 4y) = 3x + 7y
4. Mnożenie jednomianów
Mnożymy współczynniki liczbowe, a potęgi o tej samej podstawie mnożymy przez dodanie wykładników.
3x² · 4x³ = 12x⁵
−2a · 5a²b = −10a³b
5. Dzielenie jednomianów
Dzielimy współczynniki, a przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.
18x⁵6x² = 3x³
20a⁴b³5a²b = 4a²b²
6. Mnożenie sumy przez liczbę
Każdy składnik znajdujący się w nawiasie mnożymy przez czynnik stojący przed nawiasem.
3(2x + 5) = 6x + 15
−4(3x − 2) = −12x + 8
7. Minus przed nawiasem
Jeżeli przed nawiasem stoi znak minus, po usunięciu nawiasu zmieniamy znaki wszystkich składników.
−(4x − 7) = −4x + 7
8 − (2x + 3) = 8 − 2x − 3
8 − 2x − 3 = 5 − 2x
8. Mnożenie dwóch nawiasów
Każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego nawiasu, a następnie redukujemy wyrazy podobne.
(x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15
x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15
9. Wyłączanie wspólnego czynnika
Szukamy czynnika, który występuje w każdym składniku, i wyłączamy go przed nawias.
12x² + 18x = 6x(2x + 3)
15a³ − 10a² = 5a²(3a − 2)
10. Wzór skróconego mnożenia – kwadrat sumy
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(x + 4)² = x² + 8x + 16
11. Kwadrat różnicy i różnica kwadratów
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a − b)(a + b)
x² − 25 = (x − 5)(x + 5)
12. Obliczanie wartości wyrażenia
Jeśli znamy wartość zmiennej, podstawiamy ją w miejsce litery. Przy liczbach ujemnych warto używać nawiasów.
Dla x = −3 oblicz 2x² − 5x + 1:
2(−3)² − 5(−3) + 1 = 18 + 15 + 1
18 + 15 + 1 = 34
Uwaga na częsty błąd: 3(x + 2) to 3x + 6, a nie 3x + 2. Czynnik przed nawiasem musi zostać pomnożony przez każdy składnik nawiasu.
Pamiętaj: przed redukcją wyrazów podobnych usuń nawiasy i zwróć szczególną uwagę na znaki. Łączyć można tylko wyrazy o identycznej części literowej.
Zadania
Zadanie 2
Usuń nawias i uprość
4(2x − 3) − 2(x + 5)
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Mnożymy każdy składnik w nawiasach:
8x − 12 − 2x − 10 = 6x − 22.
8x − 12 − 2x − 10 = 6x − 22.
Zadanie 3
Pomnóż nawiasy
(x − 4)(x + 6)
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
x² + 6x − 4x − 24 = x² + 2x − 24.
Zadanie 4
Wyłącz wspólny czynnik
21x³ − 14x²
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Największym wspólnym czynnikiem jest 7x²:
21x³ − 14x² = 7x²(3x − 2).
21x³ − 14x² = 7x²(3x − 2).