Zadanie 1
Iloczyn potęg o tej samej podstawie
Oblicz: 63 · 64
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Podstawy są takie same, więc dodajemy wykładniki:
63 · 64 = 63+4 = 67
63 · 64 = 63+4 = 67
Potęgowanie
Potęgowanie – wzory, własności i zadania
Potęga jest skróconym zapisem wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. Poniżej znajdziesz najważniejsze własności potęg, przykłady oraz typowe pułapki.
1. Budowa potęgi
W zapisie an liczba a jest podstawą potęgi, a liczba n – wykładnikiem.
43 = 4 · 4 · 4 = 64
Oznacza to, że liczbę 4 mnożymy przez siebie trzy razy.
43
← wykładnik – ile razy występuje czynnik
← podstawa – liczba, którą potęgujemy
← podstawa – liczba, którą potęgujemy
2. Mnożenie potęg o tej samej podstawie
Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
am · an = am+n
34 · 32 = 34+2 = 36
3. Dzielenie potęg o tej samej podstawie
Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.
am : an = am−n
76 : 72 = 76−2 = 74
4. Potęga potęgi
Gdy potęgujemy potęgę, mnożymy wykładniki.
(am)n = am·n
(52)3 = 52·3 = 56
5. Potęga iloczynu
Potęgę iloczynu możemy rozdzielić na potęgi poszczególnych czynników.
(a · b)n = an · bn
(2 · 5)3 = 23 · 53 = 8 · 125 = 1000
6. Potęga ilorazu
Potęgujemy osobno licznik i mianownik.
(ab)n = an / bn
(34)2 = 3242 = 916
7. Potęga o wykładniku zerowym
Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1.
a0 = 1 dla a ≠ 0
190 = 1
8. Potęga o wykładniku ujemnym
Ujemny wykładnik oznacza odwrotność odpowiedniej potęgi o wykładniku dodatnim.
a−n = 1an
2−4 = 124 = 116
9. Ujemna podstawa potęgi
Jeśli liczba ujemna jest w nawiasie, znak wyniku zależy od parzystości wykładnika.
(−3)4 = 81
(−3)5 = −243
Wykładnik parzysty → wynik dodatni. Wykładnik nieparzysty → wynik ujemny.
Uwaga na nawiasy: −24 = −16, ale (−2)4 = 16. W pierwszym zapisie potęgujemy tylko liczbę 2, a znak minus pozostaje przed potęgą.
Pamiętaj: praw działań na potęgach używamy tylko wtedy, gdy spełnione są odpowiednie warunki, np. przy mnożeniu lub dzieleniu potęg musi występować ta sama podstawa.
Zadania
Zadanie 2
Potęga potęgi
Uprość: (34)2
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Mnożymy wykładniki:
(34)2 = 34·2 = 38
(34)2 = 34·2 = 38
Zadanie 3
Wykładnik ujemny
Zapisz bez ujemnego wykładnika: 5−3
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Ujemny wykładnik zamieniamy na odwrotność:
5−3 = 153 = 1125
5−3 = 153 = 1125
Zadanie 4
Porównaj dwa zapisy
Oblicz: −42 oraz (−4)2.
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
W pierwszym zapisie potęgujemy tylko 4, więc minus pozostaje przed wynikiem:
−42 = −16
W drugim zapisie cała liczba −4 jest podstawą potęgi:
(−4)2 = 16
−42 = −16
W drugim zapisie cała liczba −4 jest podstawą potęgi:
(−4)2 = 16