Zadanie 1
Oblicz a₁₅
a₁ = 7, r = −2.
▼ Pokaż rozwiązanie
a₁₅ = 7 + 14 · (−2)
a₁₅ = −21
Ciągi
Ciąg arytmetyczny – wzory i zadania
Pełne opracowanie ciągu arytmetycznego: różnica r, wzór na n-ty wyraz, suma, własności i typowe zadania maturalne.
1. Definicja ciągu arytmetycznego
Ciąg jest arytmetyczny, jeżeli różnica między każdym wyrazem a wyrazem poprzednim jest stała. Oznaczamy ją literą r.
an+1 − an = r
5, 9, 13, 17, …
r = 4
2. Wzór na n-ty wyraz
an = a₁ + (n − 1)r
a₁ = 6, r = 3
a₈ = 6 + 7 · 3
a₈ = 27
3. Wyznaczanie różnicy
r = an+1 − an
a₄ = 14, a₅ = 19
r = 19 − 14 = 5
4. Dwa niekolejne wyrazy
Różnicę można wyznaczyć także z dwóch odległych wyrazów. Liczba wykonanych „kroków” jest równa różnicy ich indeksów.
a₃ = 8, a₉ = 32
a₉ − a₃ = 6r
32 − 8 = 6r
r = 4
5. Monotoniczność
r > 0 → ciąg rosnący
r = 0 → ciąg stały
r < 0 → ciąg malejący
6. Trzy kolejne wyrazy
Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów.
2an = an−1 + an+1
an = an−1 + an+12
7. Suma n początkowych wyrazów
Sn = n(a₁ + an)2
Sn = n[2a₁ + (n − 1)r]2
Pierwszy wzór jest wygodny, gdy znamy pierwszy i ostatni sumowany wyraz. Drugi – gdy znamy a₁, r i n.
8. Przykład obliczania sumy
a₁ = 4, r = 3, n = 12
a₁₂ = 4 + 11 · 3 = 37
S₁₂ = 12(4 + 37)2
S₁₂ = 246
9. Wyznaczanie numeru wyrazu
a₁ = 3, r = 5, an = 48
48 = 3 + (n − 1) · 5
45 = 5(n − 1)
n = 10
Uwaga: we wzorze na wyraz ogólny występuje (n − 1)r, ponieważ od pierwszego do n-tego wyrazu wykonujemy n − 1 kroków.
Zadania – krok po kroku
Zadanie 2
Wyznacz a₁ i r
a₄ = 13 oraz a₁₀ = 37.
▼ Pokaż rozwiązanie
37 − 13 = 6r
r = 4
13 = a₁ + 3 · 4
a₁ = 1
Zadanie 3
Oblicz sumę
a₁ = 5, r = 4. Oblicz S₂₀.
▼ Pokaż rozwiązanie
a₂₀ = 5 + 19 · 4 = 81
S₂₀ = 20(5 + 81)2
S₂₀ = 860