Zadanie 1
Oblicz funkcje trygonometryczne
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 8 i 15. Kąt α leży naprzeciw boku 8.
▼ Pokaż rozwiązanie
c = √(8² + 15²) = 17
sin α = 817
cos α = 1517
tg α = 815
Trygonometria
Trygonometria – wzory, sin, cos, tg i zadania
Od funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, przez wartości szczególne i podstawowe tożsamości, aż po zastosowanie trygonometrii w zadaniach geometrycznych i maturalnych.
1. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
Dla kąta ostrego α rozpatrujemy dwie przyprostokątne oraz przeciwprostokątną. To, która przyprostokątna jest „przeciwległa”, a która „przyległa”, zależy od wybranego kąta.
sin α = przyprostokątna przeciwległaprzeciwprostokątna
cos α = przyprostokątna przyległaprzeciwprostokątna
tg α = przyprostokątna przeciwległaprzyprostokątna przyległa
2. Przykład – sinus i cosinus
W trójkącie prostokątnym boki mają długości 5, 12 i 13. Kąt α leży naprzeciw boku długości 5.
sin α = 513
cos α = 1213
tg α = 512
3. Tangens jako iloraz
tg α = sin αcos α
Zależność ta jest bardzo często używana w przekształceniach wyrażeń trygonometrycznych.
4. Jedynka trygonometryczna
Jedna z najważniejszych tożsamości trygonometrycznych:
sin² α + cos² α = 1
Pozwala obliczyć sinus, gdy znamy cosinus, albo cosinus, gdy znamy sinus. Trzeba przy tym zwrócić uwagę na znak szukanej wartości.
5. Wyznaczanie drugiej funkcji z jedynki trygonometrycznej
Dla kąta ostrego α mamy sin α = 35. Oblicz cos α.
sin² α + cos² α = 1
(35)² + cos² α = 1
925 + cos² α = 1
cos² α = 1625
cos α = 45
6. Wartości funkcji dla kątów szczególnych
sin 30° = 12 cos 30° = √32 tg 30° = √33
sin 45° = √22 cos 45° = √22 tg 45° = 1
sin 60° = √32 cos 60° = 12 tg 60° = √3
7. Kąty dopełniające
sin α = cos(90° − α)
cos α = sin(90° − α)
Sinus jednego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest cosinusem drugiego.
8. Znaki funkcji w ćwiartkach
I: sin +, cos +, tg +
II: sin +, cos −, tg −
III: sin −, cos −, tg +
IV: sin −, cos +, tg −
9. Kąt skierowany i okrąg jednostkowy
Na okręgu jednostkowym punkt odpowiadający kątowi α ma współrzędne:
P = (cos α, sin α)
Dzięki temu definicje sinusa i cosinusa rozszerzamy na dowolne kąty, nie tylko kąty ostre.
10. Redukcja do kąta ostrego
sin(180° − α) = sin α
cos(180° − α) = −cos α
tg(180° − α) = −tg α
sin(180° + α) = −sin α
cos(180° + α) = −cos α
tg(180° + α) = tg α
11. Sinus i cosinus kąta podwojonego
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos² α − sin² α
12. Inne postacie cosinusa podwojonego kąta
cos 2α = 2cos² α − 1
cos 2α = 1 − 2sin² α
13. Wzory na sumę i różnicę kątów
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
14. Obliczanie dokładnej wartości – przykład
Oblicz sin 75°.
sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin45° cos30° + cos45° sin30°
= √22 · √32 + √22 · 12
= √6 + √24
15. Pole trójkąta z sinusem
Jeśli znamy dwa boki i kąt między nimi:
P = 12ab · sin γ
16. Przykład pola
a = 8, b = 10, γ = 30°
P = 12 · 8 · 10 · 12
P = 20
17. Twierdzenie sinusów
W dowolnym trójkącie boki są proporcjonalne do sinusów kątów leżących naprzeciw nich.
asin α = bsin β = csin γ
18. Twierdzenie cosinusów
To uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.
c² = a² + b² − 2ab cos γ
Dla γ = 90° mamy cos 90° = 0, więc otrzymujemy c² = a² + b².
19. Wyznaczanie kąta z funkcji trygonometrycznej
Jeżeli znamy wartość funkcji, kąt możemy wyznaczyć za pomocą funkcji odwrotnej na kalkulatorze.
sin α = 0,6
α = arcsin(0,6)
α ≈ 36,87°
20. Typowe zadanie z wysokością
Z punktu oddalonego o 20 m od podstawy budynku widać jego szczyt pod kątem 35°. Pomijamy wysokość obserwatora.
tg 35° = h20
h = 20 · tg 35°
h ≈ 14,0 m
Najczęstsze błędy: pomylenie przyprostokątnej przeciwległej z przyległą, użycie stopni przy kalkulatorze ustawionym na radiany, zgubienie znaku funkcji w odpowiedniej ćwiartce oraz błędne zastosowanie wzoru na cosinus sumy.
Na maturę szczególnie ważne: sin, cos i tg w trójkącie prostokątnym, wartości 30°, 45° i 60°, jedynka trygonometryczna, pole trójkąta, twierdzenie sinusów i cosinusów oraz sprawne przekształcanie prostych wyrażeń trygonometrycznych.
Zadania – krok po kroku
Zadanie 2
Jedynka trygonometryczna
Dla kąta ostrego α wiadomo, że cos α = 513. Oblicz sin α.
▼ Pokaż rozwiązanie
sin² α + (513)² = 1
sin² α = 144169
sin α = 1213
Zadanie 3
Pole trójkąta
Dwa boki mają długości 12 i 9, a kąt między nimi ma 60°. Oblicz pole.
▼ Pokaż rozwiązanie
P = 12 · 12 · 9 · sin60°
P = 54 · √32
P = 27√3
Zadanie 4
Twierdzenie cosinusów
Dwa boki trójkąta mają długości 7 i 10, a kąt między nimi 60°. Oblicz trzeci bok c.
▼ Pokaż rozwiązanie
c² = 7² + 10² − 2 · 7 · 10 · cos60°
c² = 49 + 100 − 70
c² = 79
c = √79
Zadanie 5
Dokładna wartość
Oblicz cos 15°.
▼ Pokaż rozwiązanie
cos15° = cos(45° − 30°)
= cos45°cos30° + sin45°sin30°
= √64 + √24
= √6 + √24