Zadanie 1
Wyłącz czynnik przed pierwiastek
Uprość: √108
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Szukamy największego pełnego kwadratu będącego dzielnikiem liczby 108:
√108 = √36 · 3 = 6√3.
√108 = √36 · 3 = 6√3.
Pierwiastki
Pierwiastki – wzory, działania i zadania
Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Poznaj znaczenie pierwiastka, najważniejsze własności oraz sposoby upraszczania wyrażeń z pierwiastkami.
1. Co oznacza pierwiastek kwadratowy?
Pierwiastek kwadratowy z liczby a to taka nieujemna liczba, której kwadrat jest równy a.
√49 = 7, ponieważ 7² = 49
√121 = 11, ponieważ 11² = 121
W zbiorze liczb rzeczywistych nie obliczamy pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.
2. Pierwiastek trzeciego stopnia
Szukamy liczby, której trzecia potęga daje liczbę pod pierwiastkiem.
∛64 = 4, ponieważ 4³ = 64
∛−125 = −5, ponieważ (−5)³ = −125
W przeciwieństwie do pierwiastka kwadratowego, pierwiastek trzeciego stopnia może być obliczany z liczby ujemnej.
3. Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem tak, aby jeden z czynników był pełnym kwadratem.
√72 = √36 · 2 = 6√2
√75 = √25 · 3 = 5√3
4. Włączanie czynnika pod pierwiastek
Dodatni czynnik stojący przed pierwiastkiem możemy przenieść pod znak pierwiastka, podnosząc go do kwadratu.
4√3 = √16 · 3 = √48
3√7 = √9 · 7 = √63
5. Mnożenie pierwiastków
Pierwiastki tego samego stopnia możemy pomnożyć pod jednym znakiem pierwiastka.
√6 · √24 = √144 = 12
√5 · √20 = √100 = 10
6. Dzielenie pierwiastków
Pierwiastki tego samego stopnia możemy zapisać jako jeden pierwiastek z ilorazu.
√98√2 = √49 = 7
√45√5 = √9 = 3
7. Dodawanie i odejmowanie pierwiastków
Dodawać i odejmować możemy tylko jednakowe pierwiastki – podobnie jak wyrazy podobne w algebrze.
4√3 + 7√3 = 11√3
9√5 − 2√5 = 7√5
8. Najpierw uprość, potem dodaj
Czasami pierwiastki początkowo wyglądają inaczej, ale po uproszczeniu stają się jednakowe.
√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
9. Kwadrat pierwiastka
Podniesienie pierwiastka kwadratowego do kwadratu usuwa znak pierwiastka.
(√13)² = 13
(3√2)² = 9 · 2 = 18
Uwaga: √a + b nie jest tym samym co √a + √b. Na przykład √9 + 16 = 5, natomiast √9 + √16 = 7.
Pamiętaj: zanim wykonasz działania na pierwiastkach, sprawdź, czy można je najpierw uprościć przez wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka.
Zadania
Zadanie 2
Dodaj pierwiastki
Oblicz: 3√8 + 2√18
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Najpierw upraszczamy oba pierwiastki:
3 · 2√2 + 2 · 3√2 = 6√2 + 6√2 = 12√2.
3 · 2√2 + 2 · 3√2 = 6√2 + 6√2 = 12√2.
Zadanie 3
Pomnóż pierwiastki
Oblicz: √15 · √60
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
√15 · √60 = √900 = 30.
Zadanie 4
Podziel pierwiastki
Oblicz: √147√3
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
√147√3 = √49 = 7.