Zadanie 1
Jedna kostka
Rzucamy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby pierwszej.
▼ Pokaż rozwiązanie
Ω = {1,2,3,4,5,6}
A = {2,3,5}
P(A) = 36 = 12
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa – wzory i zadania
Najważniejsze pojęcia i metody potrzebne w zadaniach szkolnych i maturalnych: przestrzeń zdarzeń, prawdopodobieństwo klasyczne, zdarzenie przeciwne, suma i iloczyn zdarzeń, losowania, kombinatoryka oraz zadania rozwiązane krok po kroku.
1. Doświadczenie losowe i zdarzenie elementarne
Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wyniku nie możemy z góry jednoznacznie przewidzieć. Pojedynczy możliwy wynik nazywamy zdarzeniem elementarnym.
Rzut kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Liczba wszystkich wyników: |Ω| = 6
2. Zdarzenie losowe
Zdarzenie A jest zbiorem wybranych wyników należących do przestrzeni Ω. Przykładowo niech A oznacza wyrzucenie liczby parzystej.
A = {2, 4, 6}
|A| = 3
3. Prawdopodobieństwo klasyczne
Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, korzystamy ze wzoru:
P(A) = |A||Ω|
W liczniku umieszczamy liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu A, a w mianowniku liczbę wszystkich możliwych wyników.
4. Przykład – rzut kostką
Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej od 4.
A = {5, 6}
|A| = 2, |Ω| = 6
P(A) = 26 = 13
5. Podstawowe własności
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(Ω) = 1
P(∅) = 0
6. Zdarzenie przeciwne
Zdarzenie przeciwne do A zachodzi wtedy, gdy zdarzenie A nie zachodzi. Jest to bardzo wygodne w zadaniach typu „co najmniej jeden”.
P(A′) = 1 − P(A)
7. Przykład ze zdarzeniem przeciwnym
Rzucamy dwa razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz wypadnie orzeł?
A′: ani razu nie wypada orzeł
P(A′) = 12 · 12 = 14
P(A) = 1 − 14 = 34
8. Suma zdarzeń
Zdarzenie A ∪ B zachodzi, gdy zachodzi A lub B, w tym także wtedy, gdy zachodzą oba zdarzenia.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
9. Zdarzenia rozłączne
Jeżeli A i B nie mogą zajść jednocześnie, to A ∩ B = ∅. Wtedy wzór upraszcza się:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
10. Iloczyn zdarzeń
A ∩ B oznacza, że zdarzenia A oraz B zachodzą jednocześnie. Przy niezależnych doświadczeniach prawdopodobieństwa mnożymy.
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
11. Dwa rzuty kostką
Przy dwóch rzutach sześcienną kostką mamy 6 · 6 jednakowo prawdopodobnych uporządkowanych wyników.
|Ω| = 36
Suma oczek równa 7:
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
P(A) = 636 = 16
12. Reguła mnożenia
Jeżeli pierwszy etap można wykonać na m sposobów, a drugi na n sposobów, oba etapy można wykonać na m · n sposobów.
4 koszulki i 3 pary spodni
4 · 3 = 12 zestawów
13. Silnia
Silnia pojawia się w zadaniach dotyczących ustawiania różnych elementów.
n! = 1 · 2 · 3 · … · n
5! = 120
0! = 1
14. Permutacje
Liczba sposobów ustawienia n różnych elementów w kolejności wynosi:
Pn = n!
6 osób można ustawić w szeregu na 6! = 720 sposobów.
15. Kombinacje
Gdy wybieramy k elementów spośród n i kolejność nie ma znaczenia, korzystamy z kombinacji.
C(n,k) = n!k!(n − k)!
C(7,2) = 7!2! · 5! = 21
16. Losowanie bez zwracania
Po każdym losowaniu zmienia się liczba dostępnych elementów, dlatego zmieniają się również prawdopodobieństwa w kolejnych etapach.
W urnie: 5 białych i 3 czarne kule
P(dwie białe) = 58 · 47
= 514
17. Losowanie ze zwracaniem
Wylosowany element wraca do zbioru. Skład zbioru przed kolejnym losowaniem pozostaje więc taki sam.
W urnie: 5 białych i 3 czarne kule
P(dwie białe) = 58 · 58
= 2564
18. „Co najmniej jeden” – najwygodniejsza metoda
Zamiast rozpatrywać wiele przypadków, często łatwiej obliczyć zdarzenie przeciwne: „ani jeden”.
P(co najmniej jeden) = 1 − P(ani jeden)
19. Przykład – wybór osób
W grupie jest 6 kobiet i 4 mężczyzn. Losujemy dwie osoby. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą kobietami.
Liczba wszystkich par: C(10,2) = 45
Liczba par kobiet: C(6,2) = 15
P(A) = 1545 = 13
20. Schemat Bernoulliego
Jeżeli wykonujemy n niezależnych prób, w każdej sukces ma prawdopodobieństwo p, a porażka 1 − p, to prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów wynosi:
P(X = k) = C(n,k) · pk · (1 − p)n−k
21. Przykład Bernoulliego
Rzucamy monetą 4 razy. Oblicz prawdopodobieństwo dokładnie 3 orłów.
n = 4, k = 3, p = 12
P(X=3) = C(4,3) · (12)³ · (12)
= 4 · 116 = 14
Najczęstszy błąd: nie można automatycznie dzielić liczby „dobrych” wyników przez liczbę wszystkich wyników, jeśli wyniki elementarne nie są jednakowo prawdopodobne. Trzeba też zawsze ustalić, czy kolejność ma znaczenie oraz czy losowanie odbywa się ze zwracaniem.
Na maturę szczególnie ważne: model klasyczny, zdarzenie przeciwne, dwa rzuty kostką, losowanie kul i liczb, kombinacje, reguła mnożenia, zadania „co najmniej jeden” oraz schemat Bernoulliego.
Zadania – krok po kroku
Zadanie 2
Dwie kostki
Rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa 9.
▼ Pokaż rozwiązanie
|Ω| = 36
A = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}
P(A) = 436 = 19
Zadanie 3
Losowanie bez zwracania
W pudełku jest 7 kul czerwonych i 5 niebieskich. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czerwonych.
▼ Pokaż rozwiązanie
P(A) = 712 · 611
P(A) = 42132
P(A) = 722
Zadanie 4
Co najmniej jeden sukces
Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie orzeł.
▼ Pokaż rozwiązanie
P(ani jednego orła) = (12)³ = 18
P(co najmniej jednego) = 1 − 18
= 78
Zadanie 5
Kombinacje
Spośród 8 uczniów losujemy trzyosobową reprezentację. Ile różnych reprezentacji można utworzyć?
▼ Pokaż rozwiązanie
C(8,3) = 8!3! · 5!
= 8 · 7 · 63 · 2 · 1
= 56
Zadanie 6
Schemat Bernoulliego
Prawdopodobieństwo trafienia do celu wynosi 0,7. Wykonujemy 5 niezależnych strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo dokładnie 4 trafień.
▼ Pokaż rozwiązanie
P(X=4) = C(5,4) · 0,7⁴ · 0,3
= 5 · 0,2401 · 0,3
= 0,36015