Zadanie 1
Oblicz logarytm
log5125
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
5³ = 125
log5125 = 3
Logarytmy
Logarytmy – wzory, własności i zadania
Od samej definicji i warunków istnienia, przez własności działań na logarytmach, aż po równania logarytmiczne i funkcję logarytmiczną. Wszystkie przekształcenia zapisane są krok po kroku.
1. Definicja logarytmu
Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę b?
logab = c ⇔ ac = b
Przykład:
log28 = 3
ponieważ 2³ = 8
2. Warunki istnienia logarytmu
Dla logarytmu logab muszą być spełnione trzy warunki:
a > 0
a ≠ 1
b > 0
Nie istnieje więc w liczbach rzeczywistych np. log2(−4) ani log17.
3. Najważniejsze wartości
loga1 = 0
logaa = 1
logaan = n
Wynika to odpowiednio z równości a⁰ = 1, a¹ = a oraz z definicji logarytmu.
4. Logarytm iloczynu
Logarytm iloczynu możemy zamienić na sumę logarytmów.
loga(xy) = logax + logay
log232 = log2(4 · 8)
= 2 + 3
= 5
5. Logarytm ilorazu
Logarytm ilorazu zamieniamy na różnicę logarytmów.
loga(xy) = logax − logay
log39 − log33 = 2 − 1 = 1
6. Logarytm potęgi
Wykładnik potęgi możemy „wyciągnąć” przed logarytm.
loga(xn) = n · logax
log5(25³) = 3 · log525
= 3 · 2 = 6
7. Logarytm pierwiastka
Pierwiastek zapisujemy jako potęgę o wykładniku ułamkowym.
loga√x = loga(x1/2)
= 12 logax
8. Zmiana podstawy logarytmu
Jeżeli chcemy zmienić podstawę z a na c, korzystamy ze wzoru:
logab = logcblogca
Szczególnie przydatne jest to podczas korzystania z kalkulatora, który ma zwykle logarytm dziesiętny i naturalny.
9. Logarytm dziesiętny
Gdy podstawa wynosi 10, często jej nie zapisujemy.
log 1000 = log101000
10³ = 1000
log 1000 = 3
10. Logarytm naturalny
Logarytm o podstawie e oznaczamy symbolem ln.
ln x = logex
W szkole średniej pojawia się częściej przy bardziej zaawansowanych własnościach funkcji i w dalszej nauce matematyki.
11. Obliczanie logarytmów przez sprowadzenie do potęgi
Jeśli liczbę logarytmowaną da się zapisać jako potęgę podstawy, wynik odczytujemy bezpośrednio z wykładnika.
log464 = ?
4³ = 64
log464 = 3
12. Logarytmy liczb mniejszych od 1
Wynik logarytmu może być ujemny.
log3127 = −3
ponieważ 3−3 = 127
13. Podstawa będąca ułamkiem
Podstawa logarytmu może należeć do przedziału (0, 1).
log1/28 = −3
(12)−3 = 8
14. Łączenie logarytmów
Korzystając z własności logarytmów, możemy kilka składników zapisać jako jeden logarytm.
log212 + log24 − log23
= log2(12 · 43)
= log216
= 4
15. Równania logarytmiczne – ta sama podstawa
Jeżeli logarytmy mają tę samą podstawę, możemy porównać ich argumenty – pamiętając wcześniej o dziedzinie.
log2(x + 1) = log27
x + 1 = 7
x = 6
16. Równanie z liczbą po prawej stronie
Korzystamy bezpośrednio z definicji logarytmu.
log3(2x − 1) = 2
2x − 1 = 3²
2x = 10
x = 5
17. Dziedzina w równaniach logarytmicznych
Argument każdego logarytmu musi być dodatni. Warunek zapisujemy przed rozwiązaniem równania, a na końcu sprawdzamy otrzymane wartości.
log2(x − 3) = 4
warunek: x − 3 > 0 → x > 3
x − 3 = 16
x = 19
19 spełnia warunek
18. Równanie z sumą logarytmów
log2x + log2(x − 2) = 3
warunek: x > 2
log2[x(x − 2)] = 3
x² − 2x = 8
x² − 2x − 8 = 0
x = 4 lub x = −2
x = 4
19. Równanie z różnicą logarytmów
log3(x + 2) − log3x = 1
warunek: x > 0
log3(x + 2x) = 1
x + 2x = 3
x + 2 = 3x
x = 1
20. Funkcja logarytmiczna
Funkcja logarytmiczna ma postać f(x) = logax, gdzie a > 0 i a ≠ 1. Jej dziedziną są liczby dodatnie.
D = (0, +∞)
W = ℝ
punkt (1, 0) należy do każdego wykresu
21. Monotoniczność funkcji logarytmicznej
Kierunek zmian zależy od podstawy.
a > 1 → funkcja rosnąca
0 < a < 1 → funkcja malejąca
22. Logarytm i potęgowanie jako działania odwrotne
Logarytm „cofa” potęgowanie o tej samej podstawie.
alogax = x
loga(ax) = x
2log₂7 = 7
23. Typowe przekształcenie maturalne
Czasami nie trzeba obliczać pojedynczych logarytmów. Wystarczy wykorzystać ich własności.
2log35 + log3(2725)
= log325 + log3(2725)
= log327
= 3
Najczęstsze błędy: logarytm sumy nie jest sumą logarytmów – nie wolno pisać loga(x + y) = logax + logay. Trzeba również zawsze pilnować dodatniości argumentu oraz pamiętać, że podstawa musi być dodatnia i różna od 1.
Na maturę warto szczególnie opanować: definicję logarytmu, trzy podstawowe własności działań na logarytmach, zamianę logarytmu na równanie potęgowe, dziedzinę oraz upraszczanie wyrażeń logarytmicznych.
Zadania – krok po kroku
Zadanie 2
Uprość wyrażenie
log224 − log23
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
= log2(243)
= log28
= 3
Zadanie 3
Rozwiąż równanie
log4(3x + 1) = 2
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
warunek: 3x + 1 > 0
3x + 1 = 4²
3x = 15
x = 5
Zadanie 4
Połącz logarytmy
log36 + log39 − log32
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
= log3(6 · 92)
= log327
= 3
Zadanie 5
Rozwiąż równanie z dwoma logarytmami
log2x + log2(x − 6) = 4
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
warunek: x > 6
log2[x(x − 6)] = 4
x² − 6x = 16
x² − 6x − 16 = 0
x = 8 lub x = −2
x = 8