Zadanie 1
Wyznacz miejsce zerowe
f(x) = 5x − 20
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
5x − 20 = 0
5x = 20
x = 4
Funkcja liniowa
Funkcja liniowa – wzory, wykres i zadania
Funkcja liniowa ma postać f(x) = ax + b. Jej wykresem jest prosta. Współczynnik a decyduje o kierunku i nachyleniu prostej, natomiast b określa miejsce przecięcia wykresu z osią OY.
1. Postać funkcji liniowej
f(x) = ax + b
a – współczynnik kierunkowy, b – wyraz wolny. Przykładowo dla funkcji f(x) = 3x − 4 mamy a = 3 oraz b = −4.
2. Monotoniczność funkcji
Znak współczynnika kierunkowego określa, czy funkcja rośnie, maleje czy jest stała.
a > 0 → funkcja rosnąca
a < 0 → funkcja malejąca
a = 0 → funkcja stała
3. Punkt przecięcia z osią OY
Dla x = 0 otrzymujemy f(0) = b, dlatego wykres przecina oś OY w punkcie (0, b).
f(x) = 2x + 5
f(0) = 5
punkt: (0, 5)
4. Miejsce zerowe
Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0.
f(x) = 4x − 12
4x − 12 = 0
4x = 12
x = 3
Dla a ≠ 0 można również użyć wzoru:
x₀ = −ba
5. Obliczanie wartości funkcji
W miejsce x podstawiamy podany argument.
f(x) = −2x + 7
f(3) = −2 · 3 + 7
f(3) = 1
6. Czy punkt należy do wykresu?
Podstawiamy współrzędną x punktu do wzoru funkcji i sprawdzamy, czy otrzymamy jego współrzędną y.
f(x) = 2x − 1, P = (4, 7)
f(4) = 2 · 4 − 1 = 7
P należy do wykresu
7. Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów
Dla punktów A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂) współczynnik kierunkowy obliczamy jako zmianę y podzieloną przez zmianę x.
a = y₂ − y₁x₂ − x₁
A = (1, 3), B = (5, 11)
a = 11 − 35 − 1 = 84 = 2
8. Wyznaczanie wzoru funkcji z dwóch punktów
Najpierw obliczamy a, a następnie podstawiamy współrzędne jednego punktu, aby wyznaczyć b.
A = (2, 5), B = (4, 9)
a = 9 − 54 − 2 = 2
5 = 2 · 2 + b
b = 1
f(x) = 2x + 1
9. Funkcje równoległe i prostopadłe
Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe. Dla prostych prostopadłych iloczyn współczynników kierunkowych wynosi −1.
równoległe: a₁ = a₂
prostopadłe: a₁ · a₂ = −1
a₁ = 2 → a₂ = −12
10. Punkt przecięcia dwóch prostych
W punkcie przecięcia obie funkcje mają dla tego samego x taką samą wartość. Przyrównujemy więc ich wzory.
f(x) = 2x + 1
g(x) = −x + 7
2x + 1 = −x + 7
3x = 6
x = 2
y = 5
punkt przecięcia: (2, 5)
Uwaga: współczynnik b nie jest miejscem zerowym funkcji. Jest współrzędną y punktu przecięcia wykresu z osią OY. Miejsce zerowe wyznaczamy z równania ax + b = 0.
Warto zapamiętać: z postaci f(x) = ax + b możemy od razu odczytać kierunek zmian funkcji oraz punkt przecięcia z osią OY. Do narysowania prostej wystarczą dwa różne punkty.
Zadania
Zadanie 2
Wyznacz wzór funkcji
Prosta przechodzi przez punkty A = (1, 4) i B = (3, 10).
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
a = 10 − 43 − 1 = 3
4 = 3 · 1 + b
b = 1
f(x) = 3x + 1
Zadanie 3
Sprawdź położenie punktu
Czy punkt P = (−2, 8) należy do wykresu funkcji f(x) = −3x + 2?
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
f(−2) = −3 · (−2) + 2
f(−2) = 8
Tak, punkt P należy do wykresu.