Zadanie 1
Wyznacz miejsca zerowe i wierzchołek
f(x) = x² − 8x + 12
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Δ = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 16
x₁ = 8 − 42 = 2
x₂ = 8 + 42 = 6
p = 82 = 4
q = f(4) = −4
W = (4, −4), x₁ = 2, x₂ = 6
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa – wzory, wykres i zadania
Funkcja kwadratowa jest jednym z najważniejszych tematów w szkole średniej i na maturze. Poniżej znajdziesz rozbudowane opracowanie: od postaci funkcji i delty, przez wierzchołek, miejsca zerowe i szkic paraboli, aż po nierówności, wzory Viète’a i zadania optymalizacyjne.
1. Czym jest funkcja kwadratowa?
Funkcja kwadratowa ma postać ogólną, w której współczynnik przy x² musi być różny od zera.
f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0
Jej wykresem jest parabola. Znak współczynnika a określa kierunek ramion: dla a > 0 są skierowane w górę, a dla a < 0 – w dół.
2. Postać ogólna
f(x) = ax² + bx + c
Z postaci ogólnej odczytujemy współczynniki a, b i c. Liczba c jest wartością f(0), więc wykres przecina oś OY w punkcie (0, c).
f(x) = 2x² − 6x + 4
a = 2, b = −6, c = 4
3. Delta – wyróżnik trójmianu
Delta pozwala określić liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
Δ = b² − 4ac
Δ > 0 → dwa miejsca zerowe
Δ = 0 → jedno miejsce zerowe
Δ < 0 → brak miejsc zerowych
4. Miejsca zerowe – gdy Δ > 0
Jeżeli delta jest dodatnia, parabola przecina oś OX w dwóch punktach.
x₁ = −b − √Δ2a x₂ = −b + √Δ2a
f(x) = x² − 5x + 6
Δ = 25 − 24 = 1
x₁ = 2, x₂ = 3
5. Miejsce zerowe – gdy Δ = 0
Parabola jest styczna do osi OX. Otrzymujemy jedno podwójne miejsce zerowe.
x₀ = −b2a
f(x) = x² − 6x + 9
Δ = 36 − 36 = 0
x₀ = 3
6. Co oznacza Δ < 0?
Jeżeli delta jest ujemna, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych, a wykres funkcji nie przecina osi OX.
f(x) = x² + 2x + 5
Δ = 4 − 20 = −16
brak miejsc zerowych
7. Wierzchołek paraboli
Wierzchołek W = (p, q) jest najniższym punktem paraboli dla a > 0 albo najwyższym dla a < 0.
p = −b2a
q = −Δ4a = f(p)
f(x) = x² − 4x + 1
p = 2
q = f(2) = −3
W = (2, −3)
8. Oś symetrii paraboli
Parabola jest symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez jej wierzchołek.
x = p = −b2a
Punkty wykresu położone w tej samej odległości od osi symetrii mają tę samą wartość funkcji.
9. Postać kanoniczna
f(x) = a(x − p)² + q
Z tej postaci natychmiast odczytujemy wierzchołek W = (p, q) oraz oś symetrii x = p.
f(x) = 2(x − 3)² − 5
W = (3, −5)
10. Postać iloczynowa
Gdy funkcja ma dwa miejsca zerowe, możemy zapisać ją jako:
f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Dla jednego podwójnego miejsca zerowego:
f(x) = a(x − x₀)²
11. Zamiana postaci funkcji
Każda postać podkreśla inne informacje. Postać ogólna ułatwia obliczanie delty, kanoniczna pokazuje wierzchołek, a iloczynowa – miejsca zerowe.
f(x) = x² − 6x + 5
f(x) = (x − 3)² − 4
f(x) = (x − 1)(x − 5)
To trzy różne zapisy tej samej funkcji.
12. Monotoniczność dla a > 0
Gdy ramiona paraboli są skierowane w górę, funkcja maleje do wierzchołka, a następnie rośnie.
maleje dla x ∈ (−∞, p⟩
rośnie dla x ∈ ⟨p, +∞)
13. Monotoniczność dla a < 0
Gdy ramiona są skierowane w dół, funkcja rośnie do wierzchołka, a potem maleje.
rośnie dla x ∈ (−∞, p⟩
maleje dla x ∈ ⟨p, +∞)
14. Zbiór wartości
Współrzędna q wierzchołka wyznacza najmniejszą albo największą wartość funkcji.
a > 0 → y ∈ ⟨q, +∞)
a < 0 → y ∈ (−∞, q⟩
15. Najmniejsza i największa wartość
Dla a > 0 funkcja przyjmuje w wierzchołku wartość najmniejszą q. Dla a < 0 wartość q jest największą wartością funkcji.
f(x) = −2(x + 1)² + 7
wartość największa = 7
16. Szkicowanie wykresu paraboli
Najwygodniej wyznaczyć kolejno: kierunek ramion, wierzchołek, oś symetrii, miejsca zerowe (jeśli istnieją) i punkt przecięcia z osią OY.
f(x) = x² − 4x + 3
a = 1 → ramiona w górę
W = (2, −1), oś: x = 2
x₁ = 1, x₂ = 3
f(0) = 3 → punkt (0, 3)
17. Odczytywanie znaku funkcji
Dla dwóch miejsc zerowych x₁ < x₂ znak funkcji zależy od kierunku ramion.
a > 0: + | x₁ | − | x₂ | +
a < 0: − | x₁ | + | x₂ | −
18. Nierówności kwadratowe
Najpierw wyznaczamy miejsca zerowe i kierunek ramion, a potem wybieramy te przedziały, na których parabola leży nad lub pod osią OX.
x² − 5x + 6 < 0
(x − 2)(x − 3) < 0
x ∈ (2, 3)
19. Wzory Viète’a
Jeśli x₁ i x₂ są miejscami zerowymi równania ax² + bx + c = 0, to:
x₁ + x₂ = −ba
x₁ · x₂ = ca
Wzory pozwalają m.in. badać sumę i iloczyn pierwiastków bez ich bezpośredniego obliczania.
20. Wyznaczanie wzoru z miejsc zerowych
Jeżeli znamy x₁, x₂ oraz dodatkowy punkt wykresu, korzystamy z postaci iloczynowej i wyznaczamy a.
x₁ = 1, x₂ = 4, P = (0, 8)
f(x) = a(x − 1)(x − 4)
8 = a(−1)(−4)
a = 2
f(x) = 2(x − 1)(x − 4)
21. Wyznaczanie wzoru z wierzchołka i punktu
Jeżeli znamy wierzchołek W = (p, q), zaczynamy od postaci kanonicznej i podstawiamy współrzędne znanego punktu.
W = (2, −3), P = (0, 5)
f(x) = a(x − 2)² − 3
5 = 4a − 3
a = 2
f(x) = 2(x − 2)² − 3
22. Przesunięcia paraboli
W postaci kanonicznej liczby p i q opisują przesunięcie wykresu funkcji y = ax².
y = (x − 3)² + 2
3 jednostki w prawo
2 jednostki w górę
23. Wpływ wartości |a|
Wartość bezwzględna współczynnika a wpływa na „szerokość” paraboli. Im większe |a|, tym parabola jest węższa; dla 0 < |a| < 1 jest szersza.
y = 4x² → węższa
y = 14x² → szersza
24. Zadania optymalizacyjne
W wielu zadaniach tekstowych szukamy największej lub najmniejszej wartości pewnej wielkości. Jeżeli opisuje ją funkcja kwadratowa, ekstremum znajduje się w wierzchołku paraboli.
P(x) = −2x² + 24x
p = −242 · (−2) = 6
P(6) = 72
największa wartość wynosi 72
Najczęstsze błędy: pominięcie znaku minus we wzorze na p, błędne obliczenie −4ac w delcie, zamiana miejscami p i q, uznanie współczynnika c za miejsce zerowe oraz zapominanie o współczynniku a w postaci iloczynowej.
Co warto umieć bardzo dobrze: przechodzić między trzema postaciami funkcji, wyznaczać wierzchołek i miejsca zerowe, szkicować parabolę, określać monotoniczność i zbiór wartości, rozwiązywać nierówności oraz wyznaczać wzór funkcji na podstawie danych z zadania.
Zadania – krok po kroku
Zadanie 2
Zapisz funkcję w postaci kanonicznej
f(x) = x² + 6x + 5
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
x² + 6x + 5 = x² + 6x + 9 − 4
= (x + 3)² − 4
f(x) = (x + 3)² − 4
Zadanie 3
Wyznacz wzór funkcji z miejsc zerowych
Miejsca zerowe to −2 i 3, a wykres przechodzi przez punkt P = (1, −8).
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
f(x) = a(x + 2)(x − 3)
−8 = a · 3 · (−2)
a = 43
f(x) = 43(x + 2)(x − 3)
Zadanie 4
Rozwiąż nierówność kwadratową
−x² + 5x − 6 ≥ 0
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
−(x − 2)(x − 3) ≥ 0
miejsca zerowe: 2 i 3
ramiona są skierowane w dół
x ∈ ⟨2, 3⟩
Zadanie 5
Wyznacz największą wartość funkcji
f(x) = −3x² + 12x + 1
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
a < 0, więc wierzchołek daje maksimum
p = −122 · (−3) = 2
f(2) = −12 + 24 + 1 = 13
wartość największa = 13
Zadanie 6
Zastosuj wzory Viète’a
Bez obliczania miejsc zerowych wyznacz ich sumę i iloczyn.
2x² − 7x − 4 = 0
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
x₁ + x₂ = −(−7)2 = 72
x₁x₂ = −42 = −2
suma = 72, iloczyn = −2