Zadanie 1
Średnia arytmetyczna
Oblicz średnią liczb: 6, 8, 11, 13, 17.
▼ Pokaż rozwiązanie
x̄ = 6 + 8 + 11 + 13 + 175
x̄ = 555 = 11
Statystyka
Statystyka – średnia, mediana i zadania
Najważniejsze zagadnienia statystyczne potrzebne w szkole i na maturze: średnia arytmetyczna i ważona, mediana, dominanta, rozstęp, interpretacja tabel i wykresów oraz odchylenie standardowe – wszystko na czytelnych przykładach.
1. Dane statystyczne
Statystyka pozwala porządkować, przedstawiać i analizować dane. Przykładowy zestaw wyników:
4, 7, 7, 8, 9, 10, 11
liczba obserwacji: n = 7
2. Średnia arytmetyczna
Sumujemy wszystkie wartości i dzielimy przez liczbę obserwacji.
x̄ = x₁ + x₂ + … + xₙn
Dane: 5, 7, 8, 10, 10
x̄ = 5 + 7 + 8 + 10 + 105 = 405 = 8
3. Średnia ważona
Gdy poszczególne wartości mają różne wagi, każdą wartość mnożymy przez odpowiadającą jej wagę.
x̄ = x₁w₁ + x₂w₂ + … + xₙwₙw₁ + w₂ + … + wₙ
ocena 4 z wagą 2, ocena 5 z wagą 3
x̄ = 4 · 2 + 5 · 32 + 3 = 235 = 4,6
4. Mediana – nieparzysta liczba danych
Najpierw porządkujemy dane rosnąco. Przy nieparzystej liczbie obserwacji mediana jest środkową wartością.
2, 4, 6, 9, 11, 14, 18
Me = 9
5. Mediana – parzysta liczba danych
Mediana jest średnią arytmetyczną dwóch środkowych wartości.
3, 5, 8, 12, 15, 20
Me = 8 + 122 = 10
6. Dominanta
Dominanta (moda) to wartość występująca w zestawie najczęściej.
2, 4, 4, 4, 7, 8, 9
Dominanta = 4
Zestaw może mieć więcej niż jedną dominantę albo nie mieć jej wcale.
7. Rozstęp
Rozstęp pokazuje różnicę między największą i najmniejszą obserwacją.
R = xmax − xmin
3, 6, 8, 12, 17
R = 17 − 3 = 14
8. Tabela liczebności
Jeżeli wartości się powtarzają, wygodnie zapisujemy je wraz z liczbą wystąpień.
Wartość: 2 3 4 5
Liczebność: 1 3 4 2
Razem: n = 10
9. Średnia z tabeli liczebności
Nie musimy wypisywać każdej obserwacji osobno. Wartość mnożymy przez jej liczebność.
x̄ = 2 · 1 + 3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 210
x̄ = 3710 = 3,7
10. Częstość i procent obserwacji
Częstość względna określa, jaka część wszystkich obserwacji ma daną własność.
częstość = liczba wybranych obserwacjiliczba wszystkich obserwacji
8 osób spośród 20 → 820 = 0,4 = 40%
11. Odczytywanie wykresów
W zadaniach trzeba zwracać uwagę na opis osi, jednostki, skalę oraz to, czy wykres przedstawia liczebność, procent czy inną wielkość. Przed wykonaniem obliczeń warto zapisać odczytane dane.
12. Wykres słupkowy
Wysokość słupka odpowiada wartości lub liczebności danej kategorii. Słupki dotyczą oddzielnych kategorii, dlatego zazwyczaj są od siebie oddzielone.
Wskazówka: zawsze sprawdź, czy oś pionowa zaczyna się od zera. Ucięta skala może wizualnie wyolbrzymiać różnice.
13. Diagram kołowy
Pełne koło odpowiada 100% danych, czyli 360°. Dzięki temu możemy przeliczać procent na kąt środkowy.
25% · 360° = 90°
15% · 360° = 54°
14. Jak zmiana jednej wartości wpływa na średnią?
Jeżeli jedna obserwacja wzrośnie o d, suma wszystkich danych również wzrośnie o d. Przy n obserwacjach średnia wzrośnie o:
dn
To pozwala często rozwiązać zadanie bez ponownego sumowania całego zestawu.
15. Wyznaczanie brakującej wartości ze średniej
Średnia pięciu liczb wynosi 12. Cztery z nich to 7, 10, 13 i 14. Wyznacz piątą.
suma wszystkich liczb = 5 · 12 = 60
7 + 10 + 13 + 14 = 44
x = 60 − 44 = 16
16. Odchylenie standardowe – znaczenie
Odchylenie standardowe opisuje, jak bardzo wartości są rozproszone wokół średniej. Małe odchylenie oznacza dane skupione blisko średniej, a duże – bardziej rozproszone.
σ = √((x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²n)
17. Odchylenie standardowe – przykład
Dane: 2, 4, 6. Najpierw obliczamy średnią.
x̄ = 2 + 4 + 63 = 4
σ = √((2−4)² + (4−4)² + (6−4)²3)
σ = √(83) ≈ 1,63
18. Porównywanie dwóch zestawów danych
Dwa zestawy mogą mieć taką samą średnią, ale zupełnie inne rozproszenie.
A: 9, 10, 11 → x̄ = 10
B: 2, 10, 18 → x̄ = 10
Zestaw B ma większe rozproszenie.
Najczęstsze błędy: obliczanie mediany bez wcześniejszego uporządkowania danych, dzielenie przez złą liczbę obserwacji, nieuwzględnianie wag lub liczebności przy średniej oraz mylenie dominanty ze średnią.
Na maturę szczególnie ważne: średnia arytmetyczna i ważona, mediana, dominanta, rozstęp, odczytywanie tabel i wykresów, obliczanie brakującej wartości na podstawie średniej oraz interpretacja odchylenia standardowego.
Zadania – krok po kroku
Zadanie 2
Mediana i dominanta
Dane są liczby: 3, 8, 5, 8, 11, 8, 6. Wyznacz medianę i dominantę.
▼ Pokaż rozwiązanie
3, 5, 6, 8, 8, 8, 11
Me = 8
Dominanta = 8
Zadanie 3
Brakująca liczba
Średnia sześciu liczb wynosi 9. Pięć z nich to 4, 7, 8, 10 i 12. Oblicz szóstą liczbę.
▼ Pokaż rozwiązanie
suma = 6 · 9 = 54
4 + 7 + 8 + 10 + 12 = 41
x = 54 − 41 = 13
Zadanie 4
Średnia ważona
Uczeń otrzymał ocenę 3 z wagą 1, ocenę 4 z wagą 2 oraz ocenę 5 z wagą 3. Oblicz średnią ważoną.
▼ Pokaż rozwiązanie
x̄ = 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 31 + 2 + 3
x̄ = 266 = 133 ≈ 4,33
Zadanie 5
Diagram kołowy
30% ankietowanych wybrało odpowiedź A. Jaki kąt ma odpowiadający jej wycinek diagramu kołowego?
▼ Pokaż rozwiązanie
30% · 360° = 0,30 · 360°
= 108°
Zadanie 6
Zmiana średniej
Średnia 8 liczb wynosi 15. Jedną z liczb zwiększono o 16. Jaka jest nowa średnia?
▼ Pokaż rozwiązanie
początkowa suma = 8 · 15 = 120
nowa suma = 120 + 16 = 136
nowa średnia = 1368 = 17