Układy równań

Układy równań – metody i zadania

Układ równań to zestaw co najmniej dwóch równań, które muszą być spełnione jednocześnie. W przypadku dwóch niewiadomych szukamy pary liczb (x, y), która spełnia oba równania.

1. Jak zapisujemy układ równań?

Równania zapisujemy jedno pod drugim i obejmujemy klamrą.

{x + y = 9
2x − y = 3

Rozwiązaniem tego układu jest para (4, 5), ponieważ po podstawieniu x = 4 i y = 5 oba równania są prawdziwe.

2. Metoda podstawiania

Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą, a następnie otrzymane wyrażenie podstawiamy do drugiego równania.

{x + y = 10
x − y = 2
x = y + 2
(y + 2) + y = 10
2y + 2 = 10
y = 4
x = 4 + 2 = 6
(x, y) = (6, 4)

3. Metoda przeciwnych współczynników

Doprowadzamy współczynniki przy jednej niewiadomej do liczb przeciwnych, a następnie dodajemy równania stronami.

{2x + y = 11
3x − y = 9
5x = 20
x = 4
2 · 4 + y = 11
y = 3
(x, y) = (4, 3)

4. Gdy współczynniki nie są od razu przeciwne

Jedno lub oba równania mnożymy przez odpowiednią liczbę.

{2x + 3y = 13
3x + 2y = 12
4x + 6y = 26
−9x − 6y = −36
−5x = −10
x = 2
4 + 3y = 13
y = 3
(x, y) = (2, 3)

5. Sprawdzenie rozwiązania

Otrzymaną parę liczb podstawiamy do obu równań układu.

Dla (x, y) = (4, 3):
2 · 4 + 3 = 11 ✓
3 · 4 − 3 = 9 ✓

Oba równania są spełnione, więc para jest rozwiązaniem układu.

6. Układ oznaczony

Ma dokładnie jedno rozwiązanie. Geometrycznie dwie proste przecinają się w jednym punkcie.

{x + y = 7
x − y = 1
(x, y) = (4, 3)

7. Układ sprzeczny

Nie ma rozwiązania. Po przekształceniu otrzymujemy fałszywą równość.

{x + y = 5
x + y = 8
5 = 8
brak rozwiązań

8. Układ nieoznaczony

Ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, więc opisują tę samą prostą.

{x + 2y = 6
2x + 4y = 12
0 = 0
nieskończenie wiele rozwiązań
Uwaga: rozwiązaniem układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi jest para liczb, a nie dwie niezależne odpowiedzi. Zapisujemy ją np. jako (x, y) = (4, 3).
Jak wybrać metodę? Jeśli z któregoś równania łatwo wyznaczyć x lub y, wygodna jest metoda podstawiania. Jeśli współczynniki przy jednej niewiadomej są równe lub łatwo zrobić z nich liczby przeciwne, zwykle szybsza jest metoda przeciwnych współczynników.

Zadania

Zadanie 1

Rozwiąż metodą podstawiania

{x + y = 13
x − y = 5
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
x = y + 5
y + 5 + y = 13
2y = 8
y = 4
x = 9
(x, y) = (9, 4)
Zadanie 2

Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników

{3x + 2y = 16
2x − 2y = 4
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
5x = 20
x = 4
8 − 2y = 4
y = 2
(x, y) = (4, 2)
Zadanie 3

Określ liczbę rozwiązań

{2x + 4y = 10
x + 2y = 5
▼ Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Pierwsze równanie jest dwukrotnością drugiego. Oba opisują tę samą zależność.
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.