Zadanie 1
Oblicz a₈
a₁ = 2, q = 3.
▼ Pokaż rozwiązanie
a₈ = 2 · 3⁷
a₈ = 2 · 2187
a₈ = 4374
Ciągi
Ciąg geometryczny – wzory i zadania
Pełne opracowanie ciągu geometrycznego: iloraz q, wzór na n-ty wyraz, suma, własności i zastosowania procentowe.
1. Definicja ciągu geometrycznego
Ciąg jest geometryczny, jeżeli iloraz każdego niezerowego wyrazu przez wyraz poprzedni jest stały. Oznaczamy go literą q.
q = an+1an
2, 6, 18, 54, …
q = 3
2. Wzór na n-ty wyraz
an = a₁ · qn−1
a₁ = 4, q = 2
a₆ = 4 · 2⁵
a₆ = 128
3. Wyznaczanie ilorazu
a₃ = 10, a₄ = 25
q = 2510 = 52
4. Dwa niekolejne wyrazy
a₂ = 6, a₅ = 162
a₅ = a₂ · q³
162 = 6q³
q³ = 27
q = 3
5. Trzy kolejne wyrazy
Kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi jego sąsiadów.
an² = an−1 · an+1
6. Znaczenie ilorazu q
q > 1 → wartości bezwzględne rosną
0 < q < 1 → dodatni ciąg maleje
q < 0 → znaki wyrazów zmieniają się
7. Suma n początkowych wyrazów
Dla q ≠ 1:
Sn = a₁ · 1 − qn1 − q
Równoważnie:
Sn = a₁ · qn − 1q − 1
8. Przykład obliczania sumy
a₁ = 3, q = 2, n = 5
S₅ = 3 · 2⁵ − 12 − 1
S₅ = 3 · 31
S₅ = 93
9. Procent składany jako ciąg geometryczny
Jeżeli wartość zmienia się co okres o ten sam procent, kolejne wartości tworzą ciąg geometryczny.
wzrost o 6% → q = 1,06
spadek o 6% → q = 0,94
an = a₁ · qn−1
Uwaga: w ciągu geometrycznym kolejne wyrazy mnożymy przez q. Nie należy mylić ilorazu q z różnicą r z ciągu arytmetycznego.
Zadania – krok po kroku
Zadanie 2
Wyznacz brakujący wyraz
Liczby 9, x, 81 są kolejnymi dodatnimi wyrazami ciągu geometrycznego.
▼ Pokaż rozwiązanie
x² = 9 · 81
x² = 729
x > 0
x = 27
Zadanie 3
Oblicz sumę
a₁ = 5, q = 2. Oblicz S₆.
▼ Pokaż rozwiązanie
S₆ = 5 · 2⁶ − 12 − 1
S₆ = 5 · 63
S₆ = 315