Matura z matematyki 2026 – rozwiązania krok po kroku

Występuje iloczyn dwóch pierwiastków, dlatego korzystamy z własności \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\).

Liczbę \(2\) mnożymy przez ułamek znajdujący się pod pierwiastkiem. Możemy od razu skrócić \(2\) z mianownikiem \(8\).

Licznik i mianownik są kwadratami liczb całkowitych. Korzystamy z własności \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\).

Dla \(a\neq0\) zachodzi \(a^{-1}=\frac1a\), dlatego \(2^{-1}\) jest odwrotnością liczby \(2\).

Ułamki mają jednakowe mianowniki, więc dodajemy ich liczniki.

Po dopisaniu 6% kapitał stanowi 106% wcześniejszej kwoty. W zapisie dziesiętnym odpowiada temu mnożnik \(1{,}06\).

Odsetki są kapitalizowane po każdym roku, dlatego mnożnik \(1{,}06\) stosujemy dwa razy.

Kwota 11 236 zł zawiera również wpłacony kapitał. Odejmujemy więc kwotę początkową.

Korzystamy z zależności \(\sqrt a=a^{\frac12}\).

Pod pierwiastkiem znajduje się iloczyn \(5\cdot5^{1/2}\). Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

Pierwiastek kwadratowy oznacza podniesienie całego wyrażenia do potęgi \(1/2\). Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki.

Logarytmy mają tę samą podstawę. Różnicę logarytmów możemy zapisać jako logarytm ilorazu.

Dzielimy licznik i mianownik przez \(4\).

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść \(8\), aby otrzymać \(\frac18\). Ponieważ \(8^{-1}=\frac18\), logarytm jest równy \(-1\).

Zapisujemy \(4^{12}\) jako potęgę liczby \(2\).

Mnożymy potęgi liczb \(2\) i \(5\) o tym samym wykładniku. Iloczyn \(2\cdot5\) jest równy \(10\).

Liczba \(10^{24}\) kończy się wieloma zerami, więc jest podzielna przez \(20\). Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

Liczba \(10^{24}\) ma postać jedynki i \(24\) zer, czyli składa się z \(25\) cyfr. Drugie stwierdzenie również jest prawdziwe.

Wyrażenie ma postać \(a^2+2ab+b^2\), dlatego możemy zapisać je jako kwadrat dwumianu.

Po dodaniu \(5\) liczby \(-5\) redukują się.

Dla liczby nieujemnej zachodzi \((\sqrt a)^2=a\).

Oba składniki są podzielne przez \(7n\), więc wyłączamy ten czynnik przed nawias.

Liczby \(n\) oraz \(n+3\) różnią się o liczbę nieparzystą. Mają zatem różną parzystość: jedna z nich jest parzysta, a druga nieparzysta.

Skoro iloczyn jest parzysty, istnieje liczba całkowita \(k\), dla której \(n(n+3)=2k\).

Podstawiamy \(2k\) do wyrażenia. Otrzymujemy iloczyn liczby \(14\) i liczby całkowitej.

Iloczyn jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

Z treści wiemy, że suma wszystkich otrzymanych liczb jest równa \(0\).

Łączymy liczby \(-3\) i \(-2\), a następnie przenosimy \(-5\) na drugą stronę.

Mianownik nie może być równy zeru.

Ponieważ mianowniki są niezerowe, możemy pomnożyć obie strony przez \(5(3x-1)\).

Mnożymy każdy składnik w nawiasie przez czynnik stojący przed nawiasem.

Przenosimy wyrazy z \(x\) na jedną stronę, a liczby na drugą.

Liczba \(12\) nie jest równa \(\frac13\), więc należy do dziedziny równania.

Odejmujemy od obu stron \(6x+8\), aby po prawej stronie otrzymać zero.

Dla trójmianu \(ax^2+bx+c\) mamy \(a=3\), \(b=-2\), \(c=-8\).

Korzystamy ze wzoru \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Trójmian jest nieujemny poza przedziałem między miejscami zerowymi. Końce przedziałów włączamy, ponieważ występuje znak \(\geq\).

Po odjęciu 25% wpływów pozostaje 75% całej kwoty. Oznaczmy całkowity wpływ przez \(P\).

Niech \(x\) oznacza liczbę biletów ulgowych. Wtedy liczba biletów normalnych jest równa \(200-x\).

Wpływ z biletów ulgowych to \(25x\), a z normalnych \(35(200-x)\).

Usuwamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.

Dla \(x\in[-4,2]\) funkcja ma wzór \(f(x)=x+2\).

Liczba \(1\) należy do przedziału \([-4,2]\), więc jest rozwiązaniem.

Dla \(x\in(2,5)\) rozwiązujemy równanie \(-x+5=3\).

Liczba \(2\) nie należy do przedziału \((2,5)\), dlatego nie jest rozwiązaniem drugiej części.

W punkcie \(x=2\) obowiązuje pierwszy wzór, więc \(f(2)=4\). Dla \(x>2\) obowiązuje funkcja \(-x+5\), która jest malejąca i przyjmuje wartości mniejsze od \(3\).

Funkcja \(x+2\) jest rosnąca na \([-4,2]\). Najmniejszą wartość przyjmuje dla \(x=-4\), a największą dla \(x=2\).

Funkcja \(-x+5\) jest malejąca na \((2,5)\). Z powodu otwartych końców przyjmuje wartości z przedziału \((0,3)\).

Przedział \((0,3)\) zawiera się w \([-2,4]\).

Dla \(x\in[-4,2]\) rozwiązujemy \(x+2>1\).

Dla \(x\in(2,5)\) rozwiązujemy \(-x+5>1\).

Suma przedziałów \((-1,2]\) i \((2,4)\) daje jeden przedział \((-1,4)\).

Wykres opada, gdy przesuwamy się w prawo. Funkcja jest więc malejąca, a jej współczynnik kierunkowy jest ujemny.

Wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\). Współrzędna \(y\) tego punktu jest wartością \(b\).

Stwierdzenie o dodatnim \(a\) jest fałszywe. Stwierdzenie o dodatnim \(b\) również jest fałszywe.

Prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \((-2,0)\), a oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\).

Dla dwóch punktów współczynnik kierunkowy ma postać \(a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).

Dla kąta nachylenia prostej zachodzi \(a=\tan\alpha\).

Dla wierzchołka \(W=(p,q)\) funkcja ma postać \(f(x)=a(x-p)^2+q\).

Liczba \(0\) jest miejscem zerowym \(g\), więc \(g(0)=0\). Ponieważ \(g(x)=f(x+1)\), mamy \(g(0)=f(1)\).

W miejsce \(x\) wstawiamy liczbę \(1\) i wyznaczamy współczynnik \(a\).

Podstawiamy wyznaczoną wartość \(a\).

Korzystamy ze wzoru \((x-3)^2=x^2-6x+9\).

Podstawiamy odpowiednio \(n=1\) oraz \(n=9\).

Jeżeli liczby \(x,y,z\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to \(y^2=xz\).

Podstawiamy wartości \(a_1=8\) i \(a_9=32\).

Z definicji ciągu \(a_k=3k+5\).

Wzór ma postać \(a_n=a_1+(n-1)r\).

Podstawiamy dane z zadania.

Między \(a_1\) i \(a_9\) występuje osiem przyrostów o wartość \(r\).

W ciągu geometrycznym \(a_n=a_1q^{n-1}\).

W obu iloczynach otrzymujemy tę samą potęgę ilorazu.

Skoro iloczyny są równe, to \(a_2a_7=a_3a_6\).

Bok \(AC\) jest przeciwprostokątną. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

Dla kąta \(\gamma\) bokiem przeciwległym jest \(AB\), a przeciwprostokątną \(AC\).

Skracamy licznik i mianownik przez \(2\).

Kąt wpisany ma miarę równą połowie łuku, na którym jest oparty.

Kąt środkowy \(COA\) jest oparty na tym samym krótszym łuku \(CA\), więc ma miarę \(100^\circ\).

Punkt \(B\) leży na krótszym łuku \(AC\), dlatego promień \(OB\) dzieli kąt \(COA\).

Trójkąty \(AOD\) i \(COB\) mają kąty wierzchołkowe przy \(O\) oraz odpowiednie kąty przy prostych równoległych \(k\parallel l\). Są więc podobne na podstawie cechy kąt–kąt.

Bok \(OA\) odpowiada bokowi \(OC\), a \(OD\) odpowiada \(OB\).

Wstawiamy długości podane w zadaniu.

Mnożymy obie strony proporcji przez \(6\).

Trójkąty \(KNM\) i \(NLM\) mają podstawy \(KN\) oraz \(NL\) leżące na tej samej prostej \(KL\). Mają również tę samą wysokość opuszczoną z punktu \(M\).

Wspólne czynniki \(rac12\) oraz \(h\) skracają się.

Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przylegających do tego kąta.

Łącząc dwie otrzymane równości, dostajemy tezę.

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) zachodzi \(R=\frac{a}{\sqrt3}\).

Mnożymy obie strony przez \(\sqrt3\).

Iloczyn dwóch pierwiastków z \(3\) jest równy \(3\).

Dzielimy każdy składnik licznika przez \(4\cos\alpha\). Dla kąta ostrego \(\cos\alpha\neq0\).

Korzystamy z definicji \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

Odejmujemy \(1\), a następnie mnożymy przez \(rac43\).

Punkty \(A\) i \(C\) leżą na osi \(Oy\), więc odcinek \(AC\) jest pionowy.

Wysokość opuszczona z punktu \(B=(2,1)\) na prostą \(AC\), czyli na oś \(Oy\), jest równa odległości punktu \(B\) od osi \(Oy\).

Korzystamy ze wzoru \(P=\frac12ah\).

Sprawdzamy prostopadłość wektorów wychodzących z punktu \(B\).

Iloczyn skalarny jest równy zero, więc \(BA\perp BC\). Kąt prosty znajduje się przy \(B\), a przeciwprostokątną jest \(AC\).

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem jego przeciwprostokątnej.

Podstawiamy współrzędne punktów \(A\) i \(C\).

Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi.

Odległość \(SA\) jest równa promieniowi, więc punkt \(A\) leży na okręgu.

Okrąg o środku \((a,b)\) i promieniu \(r\) ma równanie \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

W podanym równaniu po prawej stronie znajduje się \(5\), a powinno znajdować się \(25\).

Proste równoległe mają jednakowe współczynniki kierunkowe. Prosta \(l\) ma więc postać \(y=-\frac13x+b\).

Współrzędne punktu \((2,-2)\) spełniają równanie prostej \(l\).

Dodajemy \(rac23\) do obu stron.

Na osi \(Oy\) współrzędna \(x\) jest równa zero. Wtedy \(y=b\).

Dla kwadratu o boku \(a\) przekątna ma długość \(d=a\sqrt2\).

Podstawa jest kwadratem.

W ostrosłupie prawidłowym wysokość spada do środka podstawy. Rzut krawędzi bocznej na podstawę jest odcinkiem od środka kwadratu do jego wierzchołka, czyli połową przekątnej.

W powstałym trójkącie prostokątnym kąt między krawędzią boczną a jej rzutem na podstawę ma \(30^\circ\).

Korzystamy ze wzoru \(V=\frac13P_ph\).

Niech promień walca będzie równy \(r\), a wspólna wysokość \(h\). Wtedy promień stożka jest równy \(2r\).

Korzystamy ze wzoru \(V_s=\frac13\pi r_s^2h\).

Korzystamy ze wzoru \(V_w=\pi r^2h\).

Wspólne czynniki \(\pi r^2h\) skracają się.

Pierwsza cyfra nie może być zerem, ponieważ liczba ma być trzycyfrowa. Możemy wybrać jedną z cyfr \(1,2,3,4,5,6\).

Na miejscu dziesiątek może znaleźć się dowolna z siedmiu dozwolonych cyfr, również zero.

Liczba ma być nieparzysta, więc ostatnią cyfrą musi być \(1\), \(3\) albo \(5\).

Wybory wykonujemy niezależnie, dlatego mnożymy liczbę możliwości.

Mamy \(5\) możliwości wyboru cyfry dziesiątek i \(5\) możliwości wyboru cyfry jedności.

Liczba jest podzielna przez \(6\), gdy jest jednocześnie podzielna przez \(2\) i przez \(3\). Każda cyfra ze zbioru \(Y\) jest parzysta, więc wystarczy sprawdzić podzielność sumy cyfr przez \(3\).

Dla każdej możliwej cyfry dziesiątek wybieramy takie cyfry jedności, aby suma cyfr była podzielna przez \(3\).

Otrzymaliśmy dziewięć liczb spełniających warunek.

Każda para cyfr jest jednakowo prawdopodobna, więc \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\).

Z diagramu odczytujemy kolejno dla ocen od 1 do 6 liczby uczniów: \(1,6,3,3,6,1\). Łącznie jest \(20\) uczniów.

Mnożymy każdą ocenę przez liczbę uczniów, którzy ją otrzymali.

Dla ocen od 1 do 6 otrzymujemy liczby uczniów: \(1,3,6,6,3,1\). W tej klasie również jest \(20\) uczniów.

Postępujemy tak samo jak dla klasy IV A.

Przy \(20\) wynikach mediana jest średnią 10. i 11. elementu uporządkowanego szeregu. W klasie IV A dziesiątym wynikiem jest ocena \(3\), a jedenastym ocena \(4\).

W klasie IV B dziesiątym wynikiem również jest \(3\), a jedenastym \(4\).

Średnie są równe i mediany są równe, zatem oba stwierdzenia są prawdziwe.

Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów, więc suma jest iloczynem średniej i liczby elementów.

Stosujemy tę samą zależność.

Dodajemy obie części.

Dzielimy łączną sumę przez \(7\).

Na poziomie ziemi wysokość jest równa zero, dlatego rozwiązujemy równanie \(h(t)=0\).

W obu składnikach występuje \(t\).

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru.

Pierwsze rozwiązanie \(t=0\) opisuje moment wyrzucenia, a nie późniejsze uderzenie.

Pierwsze uderzenie po chwili początkowej następuje dla \(t=3\ \text{s}\).

Funkcja \(h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\) ma ujemny współczynnik przy \(t^2\), więc jej wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Największa wartość znajduje się w wierzchołku.

Dla funkcji \(at^2+bt+c\) współrzędna pozioma wierzchołka jest równa \(t_w=-\frac{b}{2a}\).

W mianowniku otrzymujemy \(-9{,}8\), więc znaki ujemne się redukują.

Piłeczka osiąga maksymalną wysokość po \(1{,}5\) sekundy od wyrzucenia.