1
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 1 — Działania na pierwiastkach Zobacz arkusz ↗ Oblicz wartość wyrażenia \((\sqrt{32}-\sqrt2)^2\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Upraszczamy pierwiastek
Rozkładamy \(32=16\cdot2\), aby wyłączyć pełny kwadrat spod pierwiastka.
\[\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt2\]
Krok 2. Redukujemy wyrazy podobne
Oba składniki zawierają \(\sqrt2\).
\[4\sqrt2-\sqrt2=3\sqrt2\]
Krok 3. Podnosimy do kwadratu
Kwadrat pierwiastka z \(2\) jest równy \(2\).
\[(3\sqrt2)^2=9\cdot2=18\]
2
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 2 — Prawa działań na potęgach Zobacz arkusz ↗ Oblicz \(\dfrac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyłączamy wspólną potęgę
W liczniku każdy składnik zawiera \(5^{12}\).
\[5^{12}+5^{13}+5^{14}=5^{12}(1+5+25)\]
Krok 2. Skracamy ułamek
Dzielimy licznik i mianownik przez niezerowe \(5^{12}\).
\[\frac{5^{12}(1+5+25)}{5^{12}}=1+5+25=31\]
3
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 3 — Logarytmy Zobacz arkusz ↗ Oblicz \(\log_3 108-2\log_3 2\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zamieniamy mnożnik na wykładnik
Korzystamy ze wzoru \(k\log_a b=\log_a b^k\).
\[2\log_3 2=\log_3 4\]
Krok 2. Stosujemy wzór na różnicę logarytmów
Różnica logarytmów o tej samej podstawie jest logarytmem ilorazu.
\[\log_3 108-\log_3 4=\log_3\left(\frac{108}{4}\right)=\log_3 27\]
Krok 3. Obliczamy logarytm
Ponieważ \(3^3=27\), szukany logarytm jest równy \(3\).
\[\log_3 27=3\]
4
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 4 — Wzory skróconego mnożenia Zobacz arkusz ↗ Uprość \((3x+2)^2-(2x-3)^2\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozwijamy pierwszy kwadrat
Korzystamy ze wzoru \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
\[(3x+2)^2=9x^2+12x+4\]
Krok 2. Rozwijamy drugi kwadrat
Korzystamy ze wzoru \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
\[(2x-3)^2=4x^2-12x+9\]
Krok 3. Odejmujemy wyrażenia
Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich jego składników.
\[9x^2+12x+4-(4x^2-12x+9)=5x^2+24x-5\]
5
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 5 — Dowód podzielności Zobacz arkusz ↗ Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^2+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zapisujemy liczbę nieparzystą
Każdą liczbę nieparzystą można zapisać jako \(n=2k+1\), gdzie \(k\) jest całkowite.
\[n=2k+1\]
Krok 2. Podstawiamy do wyrażenia
Po podstawieniu rozwijamy kwadrat i redukujemy wyrazy podobne.
\[3(2k+1)^2+2(2k+1)+7\]
\[=12k^2+16k+12\]
Krok 3. Wyłączamy czynnik 4
W nawiasie pozostaje liczba całkowita, więc całe wyrażenie jest wielokrotnością \(4\).
\[12k^2+16k+12=4(3k^2+4k+3)\]
6
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 6 — Nierówność liniowa Zobacz arkusz ↗ Rozwiąż \(3-2(1-2x)\ge 2x-17\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Usuwamy nawias
Mnożymy \(-2\) przez oba składniki nawiasu.
\[3-2+4x\ge2x-17\]
Krok 2. Porządkujemy nierówność
Przenosimy wyrazy z \(x\) na lewą stronę, a liczby na prawą.
\[1+4x\ge2x-17\]
\[2x\ge-18\]
Krok 3. Dzielimy przez liczbę dodatnią
Dzielenie przez \(2\) nie zmienia znaku nierówności.
\[x\ge-9\]
Odpowiedź
\[\boxed{[-9,\infty)}\ \text{(D)}\]
7
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 7 — Równanie w postaci iloczynowej Zobacz arkusz ↗ Rozwiąż \(2x(x+3)(x^2+25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Stosujemy zasadę iloczynu zerowego
Iloczyn jest zerem, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem.
\[x=0\quad\text{lub}\quad x+3=0\quad\text{lub}\quad x^2+25=0\]
Krok 2. Analizujemy czynniki
Równanie \(x^2+25=0\) nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo \(x^2\ge0\).
\[x=0,\qquad x=-3\]
Odpowiedź
\[\boxed{x\in\{-3,0\}}\ \text{(A)}\]
8
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 8 — Wyrażenie wymierne Zobacz arkusz ↗ Uprość \(\dfrac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\dfrac{x+2}{x}\), gdzie \(x\ne-2,0\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy licznik i mianownik
Wyłączamy \(x\) w liczniku i rozpoznajemy kwadrat dwumianu w mianowniku.
\[x^2+x=x(x+1)\]
\[x^2+4x+4=(x+2)^2\]
Krok 2. Skracamy wspólne czynniki
Warunki dziedziny pozwalają skrócić \(x\) oraz jeden czynnik \(x+2\).
\[\frac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}\]
9
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 9 — Układ równań z procentami Zobacz arkusz ↗ Zespoły A i B otrzymały łącznie 1 200 000 zł. Wykorzystały odpowiednio 13% i 11%, razem 146 700 zł. Oblicz środki zespołu A.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wprowadzamy niewiadomą
Niech \(x\) oznacza kwotę zespołu A. Zespół B otrzymał \(1\,200\,000-x\).
\[A=x,\qquad B=1\,200\,000-x\]
Krok 2. Układamy równanie procentowe
Suma wykorzystanych części obu budżetów wynosi 146 700 zł.
\[0{,}13x+0{,}11(1\,200\,000-x)=146\,700\]
Krok 3. Rozwiązujemy równanie
Usuwamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.
\[0{,}02x+132\,000=146\,700\]
\[0{,}02x=14\,700\]
\[x=735\,000\]
Odpowiedź
\[\boxed{735\,000\ \text{zł}}\]
10
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 10 — Nierówność kwadratowa Zobacz arkusz ↗ Rozwiąż \(3(2x^2+1)<11x\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Sprowadzamy do postaci standardowej
Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.
\[6x^2-11x+3<0\]
Krok 2. Obliczamy miejsca zerowe
Delta wynosi \(49\), więc pierwiastki są łatwe do obliczenia.
\[\Delta=121-72=49\]
\[x_1=\frac{11-7}{12}=\frac13,\qquad x_2=\frac{11+7}{12}=\frac32\]
Krok 3. Odczytujemy znak trójmianu
Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami.
\[x\in\left(\frac13,\frac32\right)\]
Odpowiedź
\[\boxed{x\in\left(\frac13,\frac32\right)}\]
11
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 11 — Funkcja określona przedziałami Zobacz arkusz ↗ Dla funkcji \(f(x)=x+5\) na \([-4,-2]\), \(f(x)=3\) na \((-2,2]\), \(f(x)=-3x+9\) na \((2,4)\) wyznacz dziedzinę, zbiór wartości, argumenty dodatnich wartości i rozwiązania \(f(x)=3\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina
Łączymy wszystkie przedziały, na których podano wzory funkcji.
\[D_f=[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4)=[-4,4)\]
Krok 2. Zbiór wartości
Pierwsza część daje \([1,3]\), stała część wartość \(3\), a trzecia część wartości \((-3,3)\).
\[W_f=[1,3]\cup\{3\}\cup(-3,3)=(-3,3]\]
Krok 3. Wartości dodatnie
Pierwsze dwie części są dodatnie. Dla trzeciej rozwiązujemy \(-3x+9>0\).
\[x<3\]
\[f(x)>0\ \text{dla}\ x\in[-4,3)\]
Krok 4. Równanie \(f(x)=3\)
Pierwsza część daje \(x=-2\), a środkowa ma wartość \(3\) dla wszystkich argumentów ze swojego przedziału.
\[x\in[-2,2]\]
Odpowiedź
\[\boxed{D_f=[-4,4),\ W_f=(-3,3],\ f>0:\ [-4,3),\ f=3:\ [-2,2]}\]
12.1
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 12.1 — Postać kanoniczna funkcji kwadratowej Zobacz arkusz ↗ Wierzchołek paraboli to \((3,6)\), a wykres przechodzi przez \((0,3)\). Wyznacz wzór.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zapisujemy postać kanoniczną
Dla wierzchołka \((p,q)\) funkcja ma postać \(a(x-p)^2+q\).
\[f(x)=a(x-3)^2+6\]
Krok 2. Wykorzystujemy punkt \((0,3)\)
Podstawiamy \(x=0\) i \(f(0)=3\).
\[3=9a+6\]
\[9a=-3\]
\[a=-\frac13\]
Krok 3. Zapisujemy wzór
Podstawiamy obliczony współczynnik.
\[f(x)=-\frac13(x-3)^2+6\]
12.2
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 12.2 — Oś symetrii paraboli Zobacz arkusz ↗ Wyznacz oś symetrii paraboli o wierzchołku \((3,6)\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Korzystamy ze współrzędnej wierzchołka
Oś symetrii paraboli przechodzi pionowo przez jej wierzchołek.
\[x=3\]
12.3
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 12.3 — Suma miejsc zerowych po przesunięciu Zobacz arkusz ↗ Dla \(g(x)=f(x)-3\) wyznacz sumę dwóch miejsc zerowych.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zamieniamy warunek \(g(x)=0\)
Miejsca zerowe \(g\) to argumenty, dla których \(f(x)=3\).
\[f(x)=3\]
Krok 2. Wykorzystujemy symetrię
Jeden punkt o wartości \(3\) to \(x=0\). Drugi leży symetrycznie względem osi \(x=3\), więc ma \(x=6\).
\[x_1=0,\qquad x_2=6\]
Krok 3. Dodajemy miejsca zerowe
Suma argumentów symetrycznych względem \(x=3\) wynosi \(2\cdot3\).
\[x_1+x_2=6\]
13
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 13 — Brak miejsca zerowego funkcji liniowej Zobacz arkusz ↗ Dla \(f(x)=(3-m)x-4\) wyznacz \(m\), dla którego funkcja nie ma miejsca zerowego.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Ustalamy warunek
Funkcja liniowa bez miejsca zerowego musi być funkcją stałą niezerową, więc współczynnik przy \(x\) musi wynosić zero.
\[3-m=0\]
Krok 2. Obliczamy parametr
Wtedy \(f(x)=-4\), co rzeczywiście nigdy nie jest zerem.
\[m=3\]
14.1
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 14.1 — Ciąg rekurencyjny Zobacz arkusz ↗ Dany jest \(a_1=2\), \(a_{n+1}=2a_n+1\). Oblicz \(a_3\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy drugi wyraz
Podstawiamy \(n=1\).
\[a_2=2a_1+1=2\cdot2+1=5\]
Krok 2. Obliczamy trzeci wyraz
Podstawiamy \(n=2\).
\[a_3=2a_2+1=2\cdot5+1=11\]
14.2
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 14.2 — Rozpoznawanie typu ciągu Zobacz arkusz ↗ Oceń, czy ciąg \(2,5,11,\ldots\) jest arytmetyczny lub geometryczny.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Sprawdzamy różnice
Różnice kolejnych wyrazów nie są równe.
\[5-2=3,\qquad11-5=6\]
Krok 2. Sprawdzamy ilorazy
Ilorazy kolejnych wyrazów również nie są równe.
\[\frac52\ne\frac{11}{5}\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{F, F}}\]
15
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 15 — Ciąg arytmetyczny malejący Zobacz arkusz ↗ Wyznacz \(m\), dla którego \((2m+11,\ m^2+3,\ 5-m)\) jest arytmetyczny i malejący.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Warunek ciągu arytmetycznego
Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych.
\[2(m^2+3)=(2m+11)+(5-m)\]
Krok 2. Rozwiązujemy równanie
Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe.
\[2m^2-m-10=0\]
\[\Delta=81\]
\[m=\frac{1\pm9}{4}\]
\[m=\frac52\ \text{lub}\ m=-2\]
Krok 3. Sprawdzamy malejącość
Dla \(m=-2\) wszystkie trzy wyrazy są równe \(7\), więc ciąg nie jest malejący. Dla \(m=\frac52\) wyrazy maleją.
\[16>\frac{37}{4}>\frac52\]
Odpowiedź
\[\boxed{m=\frac52}\]
16
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 16 — Ciąg geometryczny Zobacz arkusz ↗ W ciągu geometrycznym \(a_1=27\), \(a_2=9\). Oblicz \(a_4\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy iloraz
Wykonujemy obliczenia.
\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac9{27}=\frac13\]
Krok 2. Obliczamy kolejne wyrazy
Każdy następny wyraz mnożymy przez \(\frac13\).
\[a_3=3,\qquad a_4=1\]
17
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 17 — Równanie trygonometryczne Zobacz arkusz ↗ Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sqrt3\tan\alpha=2\sin\alpha\). Oblicz \(\cos\alpha\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zastępujemy tangens
Korzystamy z \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
\[\sqrt3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\]
Krok 2. Skracamy przez sinus
Dla kąta ostrego \(\sin\alpha>0\), więc możemy podzielić obie strony przez sinus.
\[\frac{\sqrt3}{\cos\alpha}=2\]
Krok 3. Wyznaczamy cosinus
Wykonujemy obliczenia.
\[\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\]
18.1
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 18.1 — Tangens kąta w trójkącie Zobacz arkusz ↗ W trójkącie prostokątnym \(AB=6\), środkowa \(CD=5\), a \(D\) jest środkiem \(AB\). Oblicz \(\tan\angle ADC\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy \(AD\)
Ponieważ \(D\) jest środkiem \(AB\), mamy \(AD=3\).
\[AD=\frac{AB}{2}=3\]
Krok 2. Wyznaczamy \(AC\)
Trójkąt \(ADC\) jest prostokątny przy \(A\).
\[AC^2+AD^2=CD^2\]
\[AC^2+9=25\]
\[AC=4\]
Krok 3. Obliczamy tangens
Dla kąta przy \(D\) bok przeciwległy to \(AC\), a przyległy \(AD\).
\[\tan\alpha=\frac{AC}{AD}=\frac43\]
18.2
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 18.2 — Sinus kąta w trójkącie Zobacz arkusz ↗ Dla tego samego trójkąta oblicz \(\sin\angle ABC\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy przeciwprostokątną
Wykonujemy obliczenia.
\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\]
Krok 2. Stosujemy definicję sinusa
Bokiem przeciwległym do kąta przy \(B\) jest \(AC=4\).
\[\sin\beta=\frac{AC}{BC}=\frac4{2\sqrt{13}}=\frac2{\sqrt{13}}\]
19
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 19 — Kąt wpisany i środkowy Zobacz arkusz ↗ Kąt wpisany \(BCA\) ma \(50^\circ\). Oblicz ostry kąt \(ABO\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy kąt środkowy
Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od wpisanego.
\[\angle AOB=2\cdot50^\circ=100^\circ\]
Krok 2. Korzystamy z równoramienności
Promienie \(OA\) i \(OB\) są równe, więc kąty przy podstawie trójkąta \(AOB\) są równe.
\[\angle ABO=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\]
20
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 20 — Podobieństwo trójkątów Zobacz arkusz ↗ W trójkącie równoramiennym \(AC=BC=4\), \(AB=3\). Trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne. Oblicz \(BD\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Ustalamy odpowiadające boki
Z podobieństwa bok \(BC=4\) odpowiada bokowi \(BA=3\), a bok \(AB=3\) odpowiada bokowi \(BD\).
\[\frac{BC}{BA}=\frac{AB}{BD}\]
Krok 2. Rozwiązujemy proporcję
Wykonujemy obliczenia.
\[\frac43=\frac3{BD}\]
\[4BD=9\]
\[BD=\frac94=2{,}25\]
Odpowiedź
\[\boxed{2{,}25}\ \text{(B)}\]
21
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 21 — Twierdzenie cosinusów i pole trójkąta Zobacz arkusz ↗ W trójkącie \(AB=11\), \(BC=12\), \(\angle ABC=60^\circ\). Oceń: czy trójkąt jest równoramienny i czy pole wynosi \(33\sqrt3\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy trzeci bok
Stosujemy twierdzenie cosinusów.
\[AC^2=11^2+12^2-2\cdot11\cdot12\cos60^\circ=121+144-132=133\]
Krok 2. Oceniamy równoramienność
\(\sqrt{133}\) nie jest równe ani \(11\), ani \(12\).
\[\text{pierwsze zdanie: F}\]
Krok 3. Obliczamy pole
Wykonujemy obliczenia.
\[P=\frac12\cdot11\cdot12\sin60^\circ=66\cdot\frac{\sqrt3}{2}=33\sqrt3\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{F, P}}\]
22
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 22 — Przekątna kwadratu w układzie współrzędnych Zobacz arkusz ↗ W kwadracie \(A=(4,-1)\), a środek przekątnych \(S=(1,3)\). Oblicz przekątną.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy połowę przekątnej
Odcinek \(AS\) jest połową przekątnej kwadratu.
\[AS=\sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{9+16}=5\]
Krok 2. Podwajamy długość
Wykonujemy obliczenia.
\[d=2AS=10\]
23
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 23 — Proste równoległe Zobacz arkusz ↗ Dla \(k:y=(m-2)x+5\) i \(l:y=-4x+(m+3)\) wyznacz \(m\), aby proste były równoległe.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Porównujemy współczynniki kierunkowe
Proste równoległe mają równe współczynniki przy \(x\).
\[m-2=-4\]
Krok 2. Obliczamy parametr
Wykonujemy obliczenia.
\[m=-2\]
24
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 24 — Równanie okręgu Zobacz arkusz ↗ Okrąg ma środek \(S=(2,4)\) i przechodzi przez \(P=(0,0)\). Wyznacz równanie.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy kwadrat promienia
Wykonujemy obliczenia.
\[r^2=SP^2=(0-2)^2+(0-4)^2=4+16=20\]
Krok 2. Zapisujemy równanie
Wykonujemy obliczenia.
\[(x-2)^2+(y-4)^2=20\]
25
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 25 — Objętość stożka Zobacz arkusz ↗ Tworząca stożka ma długość \(8\), a kąt rozwarcia wynosi \(120^\circ\). Oblicz objętość.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dzielimy przekrój osiowy
Połowa kąta rozwarcia ma \(60^\circ\). W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość \(8\).
\[r=8\sin60^\circ=4\sqrt3\]
\[h=8\cos60^\circ=4\]
Krok 2. Obliczamy objętość
Wykonujemy obliczenia.
\[V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(4\sqrt3)^2\cdot4\]
\[V=\frac13\pi\cdot48\cdot4=64\pi\]
Odpowiedź
\[\boxed{64\pi}\]
26
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 26 — Przekątna sześcianu Zobacz arkusz ↗ Objętość sześcianu wynosi \(729\). Oblicz przekątną.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy krawędź
Wykonujemy obliczenia.
\[a^3=729=9^3\]
\[a=9\]
Krok 2. Stosujemy wzór na przekątną
Wykonujemy obliczenia.
\[d=a\sqrt3=9\sqrt3\]
27
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 27 — Kombinatoryka Zobacz arkusz ↗ Policz trzycyfrowe liczby nieparzyste, w których dokładnie raz występuje cyfra \(0\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Ustalamy położenie zera
Zero nie może być cyfrą setek. Nie może też być cyfrą jedności, bo liczba ma być nieparzysta. Musi więc stać na miejscu dziesiątek.
\[\overline{a0c}\]
Krok 2. Liczymy możliwości
Cyfrę setek wybieramy na \(9\) sposobów, a cyfrę jedności spośród pięciu cyfr nieparzystych.
\[9\cdot5=45\]
28
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 28 — Prawdopodobieństwo Zobacz arkusz ↗ Dwukrotnie rzucamy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo sumy oczek równej \(11\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Liczymy wszystkie wyniki
Uporządkowanych par wyników jest \(6\cdot6=36\).
\[|\Omega|=36\]
Krok 2. Wypisujemy wyniki sprzyjające
Wykonujemy obliczenia.
\[(5,6),\ (6,5)\]
Krok 3. Obliczamy prawdopodobieństwo
Wykonujemy obliczenia.
\[P(A)=\frac2{36}=\frac1{18}\]
29
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 29 — Średnia arytmetyczna Zobacz arkusz ↗ Średnia liczb \(1,2,3,4,5,x,y\) wynosi \(3\). Oblicz \(x+y\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy sumę wszystkich liczb
Wykonujemy obliczenia.
\[7\cdot3=21\]
Krok 2. Odejmujemy znane składniki
Wykonujemy obliczenia.
\[x+y=21-(1+2+3+4+5)=21-15=6\]
30
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 30 — Mediana i dominanta Zobacz arkusz ↗ Na diagramie przedstawiono oceny 24 uczniów. Wyznacz medianę i dominantę.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyznaczamy medianę
Przy 24 wynikach mediana jest średnią 12. i 13. elementu szeregu uporządkowanego. Z diagramu są to oceny \(4\) i \(5\).
\[Me=\frac{4+5}{2}=4{,}5\]
Krok 2. Wyznaczamy dominantę
Najczęściej występującą oceną na diagramie jest \(6\).
\[D=6\]
Odpowiedź
\[\boxed{Me=4{,}5,\qquad D=6}\]
31
Matura • 6 maja 2025 • poziom podstawowy
Zadanie 31 — Optymalizacja pola prostopadłościanu Zobacz arkusz ↗ Krawędź \(BC=4\), suma trzech krawędzi wychodzących z \(B\) wynosi \(15\), a \(AB=x\). Wyznacz \(P(x)\), dziedzinę i argument maksimum.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyznaczamy trzeci wymiar
Niech \(BF\) będzie wysokością prostopadłościanu.
\[x+4+BF=15\]
\[BF=11-x\]
Krok 2. Wyznaczamy dziedzinę
Wszystkie długości muszą być dodatnie.
\[x>0,\qquad11-x>0\]
\[D=(0,11)\]
Krok 3. Zapisujemy pole całkowite
Wykonujemy obliczenia.
\[P(x)=2\left(4x+x(11-x)+4(11-x)\right)\]
\[P(x)=-2x^2+22x+88\]
Krok 4. Szukamy maksimum
Parabola ma ramiona skierowane w dół. Maksimum jest w wierzchołku.
\[x_w=-\frac{22}{2\cdot(-2)}=\frac{11}{2}\]
Odpowiedź
\[\boxed{P(x)=-2x^2+22x+88,\ D=(0,11),\ x=\frac{11}{2}}\]