Matura z matematyki 2024 – rozwiązania krok po kroku

Wyrażenie \(|x-1|\) oznacza odległość liczby \(x\) od punktu \(1\) na osi liczbowej. Szukamy liczb oddalonych od \(1\) o co najmniej \(3\).

Dodajemy \(1\) do obu stron każdej nierówności.

Końce \(-2\) i \(4\) należą do zbioru, ponieważ w zadaniu występuje znak \(\ge\).

Korzystamy z \(16=2^4\) oraz \(8=2^3\).

Przy mnożeniu dodajemy wykładniki.

Usuwamy nawiasy i porządkujemy wyrażenie.

Grupujemy składniki tak, aby otrzymać postać \(3k+2\).

Liczba \(n^2+2n+1=(n+1)^2\) jest całkowita, więc \(3(n+1)^2\) jest podzielne przez \(3\). Pozostaje reszta \(2\).

Mamy \(\sqrt3=3^{1/2}\) oraz \(9=3^2\).

Szukamy wykładnika \(x\), dla którego \((3^{1/2})^x=3^2\).

Przyjmujemy \(A=2a+b\) i \(B=2a-b\), a następnie korzystamy ze wzoru \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\).

Pierwszy nawias daje \(2b\), a drugi \(4a\).

Dodajemy \(\frac32x\) do obu stron.

Sprowadzamy lewą stronę do jednego ułamka.

Mnożymy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności się nie zmienia.

Mianownik nie może być równy zeru.

Ułamek jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

Liczba \(-1\) nie jest wykluczona z dziedziny, więc jest rozwiązaniem.

Wyłączamy \(3x\) przed nawias.

Podstawiamy \(x=-1\).

Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

Łączymy pierwsze dwa i dwa ostatnie składniki.

W obu składnikach występuje \((x-2)\).

Iloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.

Z drugiego równania otrzymujemy dwa pierwiastki.

Jeżeli \(x\) i \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych odpowiednio w pierwszym i drugim sadzie, to:

W pierwszym sadzie zostało \(0{,}95x\), a w drugim \(0{,}9y\).

Drugi sad po roku ma \(60\%\) liczby drzew pozostałych w pierwszym sadzie.

Dwie różne proste liniowe są równoległe, gdy mają taki sam współczynnik kierunkowy.

Obie proste mają współczynnik kierunkowy \(-\frac32\), ale różne wyrazy wolne.

Obie proste są malejące i równoległe, co zgadza się z rysunkiem.

Dla funkcji liniowej \(y=ax+b\) funkcja jest malejąca, gdy \(a<0\).

Wymagamy, aby współczynnik kierunkowy był ujemny.

Przenosimy \(3\), a następnie dzielimy przez \(-2\), zmieniając znak nierówności.

Rozwiązujemy równanie \(3x+6=0\).

Skoro funkcje mają wspólne miejsce zerowe, to \(g(-2)=0\).

Przenosimy wyrazy i dzielimy przez \(2\).

Parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(x=-2\) oraz \(x=4\).

Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc wartości nieujemne przyjmuje pomiędzy miejscami zerowymi.

Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli \(W=(1,9)\).

Ramiona paraboli są skierowane w dół, dlatego współczynnik przy kwadracie jest ujemny.

Otrzymany wzór odpowiada wariantowi B.

Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek.

Odległość liczby \(-4\) od osi \(x=1\) wynosi \(5\). Po drugiej stronie osi leży więc \(1+5=6\).

Punkty o argumentach równoodległych od osi symetrii mają tę samą wartość funkcji.

Zastąpienie \(x\) przez \(x+3\) przesuwa wykres funkcji \(f\) o \(3\) jednostki w lewo. Wierzchołek \((1,9)\) przechodzi w \((-2,9)\).

Zastąpienie \(x\) przez \(-x\) odbija wykres względem osi \(Oy\). Wierzchołek \((1,9)\) przechodzi w \((-1,9)\).

Wśród podanych wykresów wierzchołek \((-2,9)\) ma rysunek A, a wierzchołek \((-1,9)\) — rysunek E.

Podstawiamy kolejno \(n=1\) oraz \(n=3\).

Pierwszy wyraz jest dwa razy większy od trzeciego.

Nie wszystkie wyrazy są dodatnie, np. drugi wyraz jest ujemny.

Iloraz dwóch pierwszych wyrazów wynosi:

W ciągu geometrycznym trzeci wyraz jest równy drugiemu pomnożonemu przez \(q\).

Z równania otrzymujemy \(m=2\). Ciąg \((12,6,3)\) jest malejący.

Korzystamy ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\).

Stosujemy wzór \(S_n=\frac n2[2a_1+(n-1)r]\).

Dzielimy obie strony przez \(15\).

Od równania \(a_1+2r=-1\) odejmujemy równanie \(a_1+7r=-11\).

Kąt leży w II ćwiartce, więc sinus jest dodatni, a cosinus ujemny.

Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny.

Z definicji \(\tanlpha=\frac{\sinlpha}{\coslpha}=-3\).

W obu składnikach występuje \(\sin20^\circ\).

Dla każdego kąta \(\sin^2lpha+\cos^2lpha=1\).

Dwusieczna dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przylegających do dzielonego kąta.

Usuwamy ułamki, mnożąc strony proporcji.

Otrzymana zależność jest zapisana w odpowiedzi B.

Pole równoległoboku o bokach \(a,b\) i kącie \(lpha\) jest równe \(ab\sinlpha\).

Korzystamy z \(\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\).

Kąt wpisany \(ACB\) oparty jest na tym samym łuku \(AB\) co kąt środkowy \(ASB\). Kąt środkowy ma dwa razy większą miarę.

Promienie \(SA\) i \(SB\) są równe, więc trójkąt \(ASB\) jest równoramienny.

Współczynniki kierunkowe wynoszą \(m+1\) oraz \(-2\).

Dla prostych o niezerowych współczynnikach kierunkowych zachodzi \(a_k a_l=-1\).

Dzielimy przez \(-2\) i odejmujemy \(1\).

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc \(P\) jest środkiem odcinka \(AC\).

Rozwiązujemy oba równania.

Korzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów.

Pole sześciokąta foremnego o boku \(a\) wynosi \(\frac{3\sqrt3}{2}a^2\).

Dzielimy przez \(3\sqrt3\).

Ściana boczna jest prostokątem o bokach \(6\) i \(\sqrt{10}\).

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.

Rzutem najdłuższej przekątnej przestrzennej na podstawę jest najdłuższa przekątna sześciokąta, łącząca przeciwległe wierzchołki.

Taki kąt zaznaczono na rysunku D.

Dla brył podobnych stosunek objętości jest sześcianem skali podobieństwa.

Pierwiastek sześcienny z \(8\) jest równy \(2\).

Pola powierzchni brył podobnych zmieniają się z kwadratem skali.

Na pierwszym miejscu mamy \(4\) możliwości, na drugim \(3\), na trzecim \(2\), a na ostatnim \(1\).

Jest to liczba permutacji czterech różnych elementów.

Ze wzoru na średnią otrzymujemy sumę trzech liczb.

W nowym zestawie każda liczba występuje dwa razy.

Sumujemy liczebności słupków.

Przy \(26\) wynikach mediana jest średnią \(13.\) i \(14.\) elementu uporządkowanego szeregu.

Po ocenach 1 i 2 mamy \(9\) wyników, a po dodaniu ocen 3 mamy \(13\). Zatem 13. wynik to \(3\), a 14. to \(4\).

Każde losowanie ma \(5\) możliwości, a kolejność ma znaczenie.

Suma jest parzysta, gdy wylosujemy dwie liczby nieparzyste albo dwie parzyste. W zbiorze są trzy nieparzyste i dwie parzyste.

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

Na rysunku są cztery pionowe odcinki długości \(x\) oraz sześć poziomych odcinków długości \(y\).

Dzielimy równanie przez \(2\) i przekształcamy.

Pole jednego wybiegu to \(xy\), więc suma pól trzech wybiegów wynosi:

Parabola ma ramiona skierowane w dół. Zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej.

Maksimum występuje dla \(x=\frac92=4{,}5\). Podstawiamy do warunku.