Matura z matematyki 2023 – rozwiązania krok po kroku

Końce przerwy to \(-2\) i \(5\). Ich środek jest punktem, od którego mierzymy odległość.

Odległość środka od każdego końca przerwy wynosi \(3{,}5\).

Zaznaczone są liczby leżące na zewnątrz przedziału, czyli oddalone od \(1{,}5\) o co najmniej \(3{,}5\).

Pierwiastki mają ten sam stopień, więc możemy pomnożyć liczby pod jednym pierwiastkiem.

Upraszczenie liczby pod pierwiastkiem daje sześcian prostego ułamka.

Korzystamy z \(27=3^3\) i \(8=2^3\).

Korzystamy ze wzoru \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

Porządkujemy wyrażenie.

Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Zatem \(n(n+1)=2k\) dla pewnego całkowitego \(k\).

Otrzymaliśmy wielokrotność liczby \(8\), więc teza jest prawdziwa.

Mamy \(9=3^2\), \(27=3^3\).

Sumujemy otrzymane wartości.

Przyjmujemy \(A=2a-3\), \(B=2a+3\).

Obliczamy oba czynniki.

Otrzymujemy prostą postać wyrażenia.

Mnożymy obie strony przez dodatnie \(3\).

Rozwijamy lewą stronę.

Przenosimy wyrazy z \(x\) na jedną stronę.

Przy dzieleniu przez \(-5\) odwracamy znak nierówności.

Liczba \(\sqrt3 eq0\), więc nie wpływa na miejsca zerowe.

Rozwiązujemy dwa proste równania.

Z pierwszego równania mamy dwa pierwiastki.

Mianownik nie może być zerem.

Licznik zeruje się dla \(x=-1\) lub \(x=1\).

Obie liczby są wykluczone z dziedziny, więc równanie nie ma rozwiązań.

Łączymy składniki tak, aby pojawił się wspólny czynnik.

W pierwszej grupie wyłączamy \(x^2\), a w drugiej \(-4\).

Wyłączamy wspólny dwumian i używamy różnicy kwadratów.

Każdy czynnik może być równy zero.

Pierwsza prosta jest malejąca, przecina oś \(Oy\) w \(2\) i ma współczynnik kierunkowy \(-1\).

Druga prosta jest rosnąca, przecina oś \(Oy\) w \(-1\) i ma współczynnik kierunkowy \(2\).

Taki układ zapisano w wariancie D.

Obwód prostokąta to dwa razy suma długości boków.

Ponieważ \(a>b\) i krótszy bok jest o \(5\) krótszy, mamy:

Układ C używa \(2(a+b)=30\) i \(b=a-5\), a układ E używa równoważnych równań \(2a+2b=30\) i \(a-b=5\).

Najbardziej lewy punkt wykresu ma argument \(-6\), a najbardziej prawy \(5\).

Oba końce należą do wykresu, więc stosujemy nawiasy domknięte.

Interesują nas tylko punkty wykresu dla \(-4\le x\le1\).

W tym fragmencie wykres osiąga wysokość \(2\).

Funkcja jest malejąca tam, gdzie wraz ze wzrostem \(x\) wartości \(f(x)\) maleją.

Na wykresie taki przebieg występuje od \(x=2\) do \(x=5\).

Wykres opada wraz ze wzrostem \(x\), więc funkcja jest malejąca.

Wykres przecina oś \(Oy\) powyżej osi \(Ox\).

Oś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi.

Mamy \(p=3\) oraz \(x_1=-5\).

Mnożymy przez \(2\) i dodajemy \(5\).

W miejsce \(n\) wpisujemy numer szukanego wyrazu.

Wykonujemy mnożenie.

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały.

Mnożymy drugi wyraz przez iloraz.

Dodajemy \(1\) do obu stron.

Kwoty rat tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-30\).

Korzystamy ze wzoru \(S_n=\frac n2[2a_1+(n-1)r]\).

Dzielimy przez \(9\).

Dodajemy \(510\), a następnie dzielimy przez \(2\).

Dla punktu \((x,y)\) leżącego na ramieniu kąta mamy \(\tan\alpha=\frac yx\), o ile \(x e0\).

Punkt leży w II ćwiartce, gdzie tangens jest ujemny.

W obu składnikach występuje \(\sin^2\alpha\).

Korzystamy z \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Pole rombu o boku \(a\) i kącie \(\alpha\) wynosi \(a^2\sin\alpha\).

Jeżeli przekątne mają długości \(d_1,d_2\), to \(P=\frac12d_1d_2\).

Mnożymy przez \(2\).

Promienie \(OA\) i \(OC\) są równe, więc trójkąt \(AOC\) jest równoramienny.

Suma kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\).

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma połowę miary kąta środkowego.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

Przeciwprostokątna wzrosła z \(13\) do \(26\).

Wszystkie długości mnożymy przez skalę \(2\).

Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych.

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\).

Porównujemy prawe strony równań.

Mnożymy przez \(6\).

Podstawiamy \(x=6\) do prostszej prostej.

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy.

W równaniu \(y=-\frac13x+b\) podstawiamy \((3,5)\).

Dodajemy \(1\).

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu.

W odpowiednim trójkącie prostokątnym przeciwprostokątną jest przekątna bryły \(d\).

Porównujemy z \(\frac{\sqrt2}{3}\).

W trójkącie prostokątnym z przeciwprostokątną \(6\) wysokość bryły leży naprzeciw kąta \(30^\circ\).

Rzut wysokości ściany bocznej na podstawę ma długość \(\frac a2\).

Podwajamy poprzedni wynik.

Pole podstawy wynosi \(a^2=108\).

Jedna ściana boczna ma pole \(\frac12\cdot a\cdot6\). Są cztery takie ściany.

Ostrosłup ma \(n\) wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek główny, a krawędzi jest \(n\) w podstawie i \(n\) bocznych.

Podstawiamy podany stosunek.

Mnożymy na krzyż.

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc mamy tylko \(5\) lub \(7\).

Na każdym z czterech kolejnych miejsc możemy wpisać \(0,5\) lub \(7\).

Mnożymy liczbę możliwości.

Łącznie mamy \(16\) sklepów.

Dla \(16\) danych bierzemy średnią z 8. i 9. wartości. Ósma wartość to \(5{,}70\), a dziewiąta \(6{,}00\).

Uwzględniamy liczebności z diagramu.

Dzielimy sumę przez \(16\).

Każde z dwóch losowań ma \(8\) możliwości, a kolejność ma znaczenie.

Iloczyn musi zawierać czynnik \(3\) i \(5\). Jedyną wielokrotnością \(5\) w zbiorze jest \(5\), a czynnik \(3\) mogą dostarczyć \(3,6,9\).

Mamy dokładnie sześć uporządkowanych par.

Stosujemy model klasyczny.

Wartość \(L(30)\) oznacza liczbę klientów tylko trzydziestego dnia, nie sumę z 30 dni.

Podstawiamy \(n=3\).

Otrzymaliśmy dokładnie liczbę podaną w zdaniu.

Współczynnik przy \(n^2\) jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół. Maksimum występuje w wierzchołku.

Korzystamy ze wzoru \(p=-\frac b{2a}\).

Podstawiamy \(n=11\).

Liczba \(11\) należy do dziedziny \(1,\dots,30\), więc maksimum jest osiągane jedenastego dnia.