1
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 1 — Procenty i diagram Arkusz ↗ Test ma 40 zadań. Z diagramu: statystyka 20%, algebra 25%, planimetria 15%, stereometria 5%. Oblicz liczbę zadań z arytmetyki.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy brakujący procent Wszystkie działy razem stanowią 100%. Odejmujemy udziały czterech podanych działów.
\[100\%-(20\%+25\%+15\%+5\%)=35\%\]
Krok 2. Obliczamy 35% z 40 Procent zamieniamy na ułamek dziesiętny i mnożymy przez liczbę wszystkich zadań.
\[35\%\cdot40=0{,}35\cdot40=14\]
2
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 2 — NWD i NWW Arkusz ↗ Kod ma postać YXXY. X to NWD liczb 18 i 27, a Y to NWW liczb 2 i 4.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyznaczamy NWD Największym wspólnym dzielnikiem 18 i 27 jest 9.
\[\operatorname{NWD}(18,27)=9\]
Krok 2. Wyznaczamy NWW Najmniejszą wspólną wielokrotnością 2 i 4 jest 4.
\[\operatorname{NWW}(2,4)=4\]
Krok 3. Budujemy kod W miejsce Y wpisujemy 4, a w miejsce X wpisujemy 9.
\[YXXY=4\,9\,9\,4\]
3
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 3 — Działania pod pierwiastkiem Arkusz ↗ Sprawdź, która z liczb w, x, y, z jest równa zero.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Najpierw wykonujemy działania pod pierwiastkami Nie wolno rozdzielać pierwiastka na odejmowanie lub dodawanie. Najpierw liczymy całe wyrażenie pod znakiem pierwiastka.
\[w=\sqrt{100-64}-2=\sqrt{36}-2=4\]
\[x=12-\sqrt{64+36}=12-\sqrt{100}=2\]
\[y=\sqrt{25-16}-3=\sqrt9-3=0\]
\[z=7-\sqrt{9+16}=7-\sqrt{25}=2\]
Krok 2. Wybieramy liczbę równą zero Tylko liczba y ma wartość 0.
\[y=0\]
4
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 4 — Mnożenie potęg Arkusz ↗ Uprość wyrażenie 2^5·3·3^4·2^3.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Grupujemy potęgi o jednakowych podstawach Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
\[2^5\cdot3^1\cdot3^4\cdot2^3=(2^5\cdot2^3)(3^1\cdot3^4)\]
Krok 2. Dodajemy wykładniki Podstawa pozostaje bez zmian.
\[2^{5+3}\cdot3^{1+4}=2^8\cdot3^5\]
5
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 5 — Obniżki procentowe Arkusz ↗ Kocur kosztuje x zł, kotka y zł. Zniżki wynoszą odpowiednio 40% i 20%.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy część ceny kocura Po obniżce 40% płacimy 60% ceny.
\[100\%-40\%=60\%,\qquad 0{,}6x\]
Krok 2. Obliczamy część ceny kotki Po obniżce 20% płacimy 80% ceny.
\[100\%-20\%=80\%,\qquad0{,}8y\]
Krok 3. Dodajemy ceny Łączna zapłata jest sumą obu kwot.
\[0{,}6x+0{,}8y\]
Odpowiedź \[\boxed{0{,}6x+0{,}8y}\quad\text{(D)}\]
6
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 6 — Parzystość liczb Arkusz ↗ Z kul 1–11 wylosowano 5. Suma numerów dowolnych dwóch pozostałych kul jest parzysta.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Ustalamy parzystość pozostałych numerów Suma dwóch liczb jest zawsze parzysta, gdy obie mają tę samą parzystość. Po losowaniu zostało 6 kul.
\[11-5=6\]
Krok 2. Wybieramy możliwy zestaw Wśród liczb 1–11 jest tylko 5 parzystych, ale 6 nieparzystych. Zostały więc wszystkie liczby nieparzyste.
\[1,3,5,7,9,11\]
Krok 3. Obliczamy sumę wylosowanych numerów Wylosowano wszystkie liczby parzyste.
\[2+4+6+8+10=30\]
7
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 7 — Równanie tekstowe Arkusz ↗ W 10 koszach jest łącznie 400 owoców. W każdym koszu jabłek jest o 6 więcej niż pomarańczy.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy liczbę owoców w jednym koszu W każdym koszu jest tyle samo owoców.
\[400:10=40\]
Krok 2. Układamy równanie Niech x oznacza liczbę pomarańczy w jednym koszu. Jabłek jest x+6.
\[x+(x+6)=40\]
Krok 3. Rozwiązujemy równanie Redukujemy wyrazy podobne.
\[2x+6=40\]
\[2x=34\]
\[x=17\]
Krok 4. Obliczamy liczbę jabłek W jednym koszu jest 23 jabłka, a koszy jest 10.
\[17+6=23\]
\[23\cdot10=230\]
8
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 8 — Suma kolejnych liczb Arkusz ↗ Korzystamy ze wzoru S=1/2·n(n+1).
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Podstawiamy n=100 Wzór daje sumę liczb od 1 do 100.
\[S=\frac12\cdot100\cdot101=50\cdot101=5050\]
Krok 2. Przekształcamy wzór Mnożymy n przez oba składniki nawiasu.
\[S=\frac12n(n+1)=\frac12n^2+\frac12n\]
9
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 9 — Średnia arytmetyczna Arkusz ↗ Średnia x i y wynosi 4, a średnia x, y i z wynosi 5.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyznaczamy sumę x+y Mnożymy średnią przez liczbę składników.
\[\frac{x+y}{2}=4\Rightarrow x+y=8\]
Krok 2. Wyznaczamy sumę x+y+z Dla trzech liczb postępujemy analogicznie.
\[\frac{x+y+z}{3}=5\Rightarrow x+y+z=15\]
Krok 3. Obliczamy z Podstawiamy x+y=8.
\[8+z=15\]
\[z=7\]
10
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 10 — Trójkąt równoboczny Arkusz ↗ Bok trójkąta równobocznego ma długość 2 cm. Oceń zdania o wysokości i polu.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy wysokość Korzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.
\[h=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3\]
Krok 2. Obliczamy pole Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.
\[P=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{4\sqrt3}{4}=\sqrt3\]
Odpowiedź \[\boxed{\text{P, P}}\]
11
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 11 — Suma kątów w czworokącie Arkusz ↗ β jest o 70° większy od α, γ=2α, a δ=90°.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zapisujemy kąty za pomocą α Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360°.
\[\alpha+(\alpha+70^\circ)+2\alpha+90^\circ=360^\circ\]
Krok 2. Obliczamy α Redukujemy wyrazy podobne.
\[4\alpha+160^\circ=360^\circ\]
\[4\alpha=200^\circ\]
\[\alpha=50^\circ\]
Krok 3. Obliczamy β Dodajemy 70°.
\[\beta=50^\circ+70^\circ=120^\circ\]
12
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 12 — Twierdzenie Pitagorasa na mapie Arkusz ↗ Wieża jest 3 km na północ i 4 km na zachód od schroniska. Muzeum jest 5 km na wschód.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Odległość schronisko–wieża Przesunięcia 3 km i 4 km są przyprostokątnymi.
\[SW=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{ km}\]
Krok 2. Oceniamy pierwsze zdanie Muzeum jest 5 km od schroniska, więc obie odległości są równe.
\[SM=SW=5\text{ km}\]
Krok 3. Odległość muzeum–wieża Różnica pozioma wynosi 4+5=9 km, pionowa 3 km.
\[MW=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}\]
Krok 4. Porównujemy z 10 km Ponieważ 90<100, mamy √90<10.
\[\sqrt{90}<\sqrt{100}=10\]
Odpowiedź \[\boxed{\text{P, P}}\]
13
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 13 — Pole trójkąta i kwadratu Arkusz ↗ Pole trójkąta ADE wynosi 28, a wysokość na bok AD wynosi 7. AD jest bokiem kwadratu.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy AD Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta.
\[28=\frac12\cdot AD\cdot7\]
\[56=7AD\]
\[AD=8\]
Krok 2. Obliczamy pole kwadratu Pole kwadratu to kwadrat długości boku.
\[P=8^2=64\]
14
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 14 — Pole prostopadłościanu Arkusz ↗ Trzy sześciany o krawędzi 5 ustawiono jeden na drugim.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Ustalamy wymiary bryły Powstały prostopadłościan ma wymiary 5×5×15.
\[3\cdot5=15\]
Krok 2. Obliczamy pole całkowite Są dwie podstawy 5×5 i cztery ściany 5×15.
\[P_c=2\cdot25+4\cdot75=50+300=350\]
15
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 15 — Kartki do origami Arkusz ↗ Łącznie jest 160 kartek: 37 białych, niebieskich 1,5 raza tyle co czerwonych, zielonych o 10 mniej niż czerwonych.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wprowadzamy niewiadomą Niech c oznacza liczbę kartek czerwonych.
\[\text{czerwone: }c,\quad\text{niebieskie: }1{,}5c,\quad\text{zielone: }c-10\]
Krok 2. Układamy równanie Suma wszystkich kolorów wynosi 160.
\[37+1{,}5c+(c-10)+c=160\]
Krok 3. Rozwiązujemy równanie Łączymy wyrazy podobne.
\[3{,}5c+27=160\]
\[3{,}5c=133\]
\[c=38\]
Krok 4. Obliczamy liczbę niebieskich kartek Niebieskich jest 1,5 raza tyle co czerwonych.
\[1{,}5\cdot38=57\]
16
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 16 — Droga, prędkość i czas Arkusz ↗ Cała droga ma 123 km. Pierwszy odcinek 48 km przejechano w 40 minut. Drugi odcinek przejechano z tą samą prędkością.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zamieniamy czas na godziny Prędkość ma być w km/h.
\[40\text{ min}=\frac{40}{60}\text{ h}=\frac23\text{ h}\]
Krok 2. Obliczamy prędkość Korzystamy ze wzoru v=s/t.
\[v=\frac{48}{2/3}=48\cdot\frac32=72\text{ km/h}\]
Krok 3. Obliczamy długość drugiego odcinka Odejmujemy pierwszy odcinek od całej drogi.
\[123-48=75\text{ km}\]
Krok 4. Obliczamy czas drugiego odcinka Korzystamy ze wzoru t=s/v.
\[t=\frac{75}{72}\text{ h}=1\frac1{24}\text{ h}\]
Krok 5. Formułujemy wniosek Liczba 1 1/24 jest większa od 1.
\[1\frac1{24}\text{ h}>1\text{ h}\]
17
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 17 — Procent uczestników turnieju Arkusz ↗ Dane z tabeli: dziewczęta 15, 65, x; chłopcy 46, 16, 34. Dziewcząt było o 8 więcej niż chłopców.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Liczymy chłopców Dodajemy trzy turnieje.
\[46+16+34=96\]
Krok 2. Obliczamy łączną liczbę dziewcząt Było ich o 8 więcej.
\[96+8=104\]
Krok 3. Obliczamy dziewczęta w tenisie W pozostałych turniejach było 15+65=80 dziewcząt.
\[x=104-80=24\]
Krok 4. Liczymy uczestników tenisa Dodajemy dziewczęta i chłopców.
\[24+34=58\]
Krok 5. Liczymy wszystkich uczestników Dodajemy 96 chłopców i 104 dziewczęta.
\[96+104=200\]
Krok 6. Obliczamy procent Dzielimy część przez całość i mnożymy przez 100%.
\[\frac{58}{200}\cdot100\%=29\%\]
Odpowiedź \[\boxed{29\%}\]
18
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 18 — Objętość ostrosłupa w sześcianie Arkusz ↗ Sześcian ma krawędź a. S jest środkiem DH. Oblicz stosunek objętości sześcianu do ostrosłupa ACDS.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Objętość sześcianu Korzystamy ze wzoru na objętość sześcianu.
\[V_s=a^3\]
Krok 2. Pole podstawy ostrosłupa Trójkąt ACD jest połową kwadratu o boku a.
\[P_p=\frac12a^2\]
Krok 3. Wysokość ostrosłupa S jest środkiem krawędzi DH, więc DS=a/2.
\[h=\frac a2\]
Krok 4. Objętość ostrosłupa Stosujemy wzór V=1/3·Pp·h.
\[V_o=\frac13\cdot\frac12a^2\cdot\frac12a=\frac1{12}a^3\]
Krok 5. Porównujemy objętości Dzielimy objętość sześcianu przez objętość ostrosłupa.
\[\frac{V_s}{V_o}=\frac{a^3}{a^3/12}=12\]
19
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 19 — Pole trapezu i koszt zakupów Arkusz ↗ Trapez ma podstawy 18 m i 12 m oraz wysokość 9 m. Opakowanie wystarcza na 25 m² i kosztuje 23,80 zł.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy pole ogródka Korzystamy ze wzoru na pole trapezu.
\[P=\frac{18+12}{2}\cdot9=15\cdot9=135\text{ m}^2\]
Krok 2. Obliczamy liczbę opakowań Dzielenie daje 5,4, ale trzeba kupić pełne opakowania, więc zaokrąglamy w górę.
\[135:25=5{,}4\Rightarrow6\text{ opakowań}\]
Krok 3. Obliczamy koszt Mnożymy cenę przez 6.
\[6\cdot23{,}80=142{,}80\text{ zł}\]
Odpowiedź \[\boxed{142{,}80\text{ zł}}\]
20
Egzamin ósmoklasisty • maj 2026
Zadanie 20 — Obwód równoległoboku Arkusz ↗ Prostokąt 3×9 rozcięto na trapez i trójkąt prostokątny równoramienny, a następnie złożono równoległobok.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy przeciwprostokątną trójkąta Przyprostokątne mają długości 3 i 3.
\[c^2=3^2+3^2=18\]
\[c=\sqrt{18}=3\sqrt2\]
Krok 2. Ustalamy długi bok równoległoboku Krótsza podstawa trapezu ma długość 9−3=6. Po dołączeniu przyprostokątnej długości 3 otrzymujemy 9.
\[9-3=6\]
\[6+3=9\]
Krok 3. Ustalamy drugi bok Dwa ukośne boki mają długość 3√2.
\[b=3\sqrt2\]
Krok 4. Obliczamy obwód Równoległobok ma po dwa boki każdej długości.
\[Obw=2\cdot9+2\cdot3\sqrt2=18+6\sqrt2\]
Odpowiedź \[\boxed{18+6\sqrt2}\]