1
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 1 — Procenty z diagramu Zobacz arkusz ↗ Z diagramu odczytujemy oszczędności Aldony: styczeń 40 zł, luty 50 zł, marzec 48 zł, kwiecień 60 zł. Deskorolka kosztuje 180 zł.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Styczeń i luty
Łącznie odłożono \(40+50=90\) zł. Porównujemy tę kwotę z ceną deskorolki.
\[\frac{90}{180}\cdot100\%=50\%\]
Krok 2. Porównujemy marzec ze styczniem
Różnica wynosi \(8\) zł, a procent odnosimy do kwoty styczniowej \(40\) zł.
\[\frac{48-40}{40}\cdot100\%=20\%\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{B, D}}\]
2
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 2 — Działania na ułamkach Zobacz arkusz ↗ Oblicz \(\left(2{,}4-5\frac13\right):(-2)\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zamieniamy liczby na ułamki
Wykonujemy obliczenia.
\[2{,}4=\frac{12}{5},\qquad5\frac13=\frac{16}{3}\]
Krok 2. Odejmujemy
Wykonujemy obliczenia.
\[\frac{12}{5}-\frac{16}{3}=\frac{36-80}{15}=-\frac{44}{15}\]
Krok 3. Dzielimy przez \(-2\)
Dzielenie przez \(-2\) oznacza mnożenie przez \(-\frac12\).
\[-\frac{44}{15}\cdot\left(-\frac12\right)=\frac{22}{15}=1\frac7{15}\]
3
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 3 — Reszta z dzielenia Zobacz arkusz ↗ Która z liczb \(91,92,95,97\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(1\)?
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Znajdujemy najbliższą wielokrotność 7
Wykonujemy obliczenia.
\[7\cdot13=91\]
Krok 2. Dodajemy resztę 1
Wykonujemy obliczenia.
\[91+1=92\]
4
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 4 — Średnia dwóch grup Zobacz arkusz ↗ Średnia czterech liczb wynosi \(9\), a średnia dwóch innych liczb wynosi \(6\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy sumy
Wykonujemy obliczenia.
\[S_1=4\cdot9=36\]
\[S_2=2\cdot6=12\]
Krok 2. Porównujemy sumy
Wykonujemy obliczenia.
\[36-12=24\]
Krok 3. Obliczamy wspólną średnią
Wykonujemy obliczenia.
\[\frac{36+12}{6}=\frac{48}{6}=8\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{B, C}}\]
5
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 5 — Przekształcanie wzoru Zobacz arkusz ↗ Z równania \(L=2a+2b+c\) wyznacz \(a\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Przenosimy pozostałe składniki
Wykonujemy obliczenia.
\[2a=L-2b-c\]
Krok 2. Dzielimy przez 2
Wykonujemy obliczenia.
\[a=\frac{L-2b-c}{2}\]
6
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 6 — Wyrażenie algebraiczne Zobacz arkusz ↗ Piłek fioletowych jest \(x\), białych cztery razy więcej, a czarnych o 3 więcej niż białych.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zapisujemy liczby piłek
Wykonujemy obliczenia.
\[\text{fioletowe}=x,\quad\text{białe}=4x,\quad\text{czarne}=4x+3\]
Krok 2. Dodajemy
Wykonujemy obliczenia.
\[x+4x+(4x+3)=9x+3\]
7
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 7 — Pierwiastki i znaki Zobacz arkusz ↗ Oblicz wartości wyrażeń \(K\) i \(L\), a następnie oceń dwa zdania.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy \(K\)
Pierwiastki z ułamków obliczamy jako ilorazy pierwiastków.
\[K=\frac19\cdot\frac14-\frac1{16}\cdot\frac13=\frac1{36}-\frac1{48}=\frac1{144}>0\]
Krok 2. Obliczamy \(L\)
Wykonujemy obliczenia.
\[L=9\sqrt{16}-16\sqrt9=9\cdot4-16\cdot3=36-48=-12\]
Krok 3. Oceniamy zdania
\(K\) nie jest ujemne, a \(L\[\text{F, F}\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{F, F}}\]
8
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 8 — Dzielenie potęg Zobacz arkusz ↗ Zapisz \(8^6:4^3\) jako potęgę liczby \(2\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zamieniamy podstawy
Wykonujemy obliczenia.
\[8^6=(2^3)^6=2^{18}\]
\[4^3=(2^2)^3=2^6\]
Krok 2. Odejmujemy wykładniki
Wykonujemy obliczenia.
\[2^{18}:2^6=2^{12}\]
9
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 9 — Droga, prędkość i czas Zobacz arkusz ↗ Rowerzysta przejechał \(100\) m z prędkością \(5\ \mathrm{m/s}\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Korzystamy ze wzoru na czas
Wykonujemy obliczenia.
\[t=\frac{s}{v}\]
Krok 2. Podstawiamy dane
Wykonujemy obliczenia.
\[t=\frac{100}{5}=20\ \text{s}\]
10
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 10 — Prawdopodobieństwo Zobacz arkusz ↗ Spośród 72 losów wygrywają numery 1–9 oraz 46–72. Oblicz prawdopodobieństwo pustego losu.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Liczymy losy wygrywające
Wykonujemy obliczenia.
\[9+(72-46+1)=9+27=36\]
Krok 2. Liczymy losy puste
Wykonujemy obliczenia.
\[72-36=36\]
Krok 3. Zapisujemy prawdopodobieństwo
Wykonujemy obliczenia.
\[P=\frac{36}{72}\]
11
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 11 — Pole trójkąta prostokątnego Zobacz arkusz ↗ W trójkącie prostokątnym \(AD=DB=30\) cm i \(DC=50\) cm.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy wysokość \(BC\)
W trójkącie \(DBC\) przeciwprostokątną jest \(DC=50\), a jedną przyprostokątną \(DB=30\).
\[BC=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{2500-900}=40\]
Krok 2. Pole \(DBC\)
Wykonujemy obliczenia.
\[P_{DBC}=\frac12\cdot30\cdot40=600\ \text{cm}^2\]
Krok 3. Porównujemy pola
Trójkąty \(ADC\) i \(DBC\) mają równe podstawy i tę samą wysokość, więc mają równe pola. Cały trójkąt ma pole dwa razy większe od każdego z nich.
\[\text{P, P}\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{P, P}}\]
12
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 12 — Oś liczbowa Zobacz arkusz ↗ Odcinek \(AC\) podzielono na 6 równych części. Na kolejnych zaznaczeniach znajdują się liczby 56 i 83.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy długość jednej części
Między 56 a 83 są trzy równe odcinki.
\[\frac{83-56}{3}=9\]
Krok 2. Wyznaczamy współrzędne punktów
Z rysunku punkt \(A\) jest o dwa odcinki przed 56, \(B\) o jeden odcinek przed 83, a \(C\) o dwa odcinki za 83.
\[A=56-18=38,\quad B=83-9=74,\quad C=83+18=101\]
Krok 3. Oceniamy zdania
\(101\) jest nieparzyste, a \(74\) nie jest mniejsze od \(74\).
\[\text{F, F}\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{F, F}}\]
13
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 13 — Obwód trapezu z figur złożonych Zobacz arkusz ↗ Trapez składa się z kwadratu, trójkąta o bokach \(6,8,10\) i rombu.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Ustalamy boki figur
Trójkąt ma boki \(6,8,10\). Bok kwadratu ma długość \(6\), a bok rombu długość \(10\).
\[AD=DG=AE=6,\qquad FB=BC=CG=10\]
Krok 2. Obliczamy podstawę dolną
Wykonujemy obliczenia.
\[AB=AE+EF+FB=6+8+10=24\]
Krok 3. Obliczamy górną podstawę
Wykonujemy obliczenia.
\[DC=DG+GC=6+10=16\]
Krok 4. Dodajemy boki trapezu
Wykonujemy obliczenia.
\[Obw=AD+DC+CB+BA=6+16+10+24=56\]
14
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 14 — Równoległobok w układzie współrzędnych Zobacz arkusz ↗ Dane są \(A=(-3,-2)\), \(C=(4,2)\), \(D=(-1,2)\). Wyznacz \(B\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Korzystamy z własności przekątnych
W równoległoboku przekątne mają wspólny środek, więc \(A+C=B+D\).
\[B=A+C-D\]
Krok 2. Obliczamy współrzędne
Wykonujemy obliczenia.
\[B=(-3,-2)+(4,2)-(-1,2)=(2,-2)\]
Odpowiedź
\[\boxed{(2,-2)}\ \text{(C)}\]
15
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 15 — Pole prostopadłościanu Zobacz arkusz ↗ Krawędzie prostopadłościanu mają długości \(5,6,7\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Stosujemy wzór
Wykonujemy obliczenia.
\[P_c=2(ab+ac+bc)\]
Krok 2. Podstawiamy
Wykonujemy obliczenia.
\[P_c=2(5\cdot6+5\cdot7+6\cdot7)\]
\[P_c=2(30+35+42)=214\]
16
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 16 — Uzupełnianie sumy ułamków Zobacz arkusz ↗ Znajdź trzeci składnik sumy \(\frac15+\frac16+\square=\frac7{15}\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Sprowadzamy do wspólnego mianownika
Wykonujemy obliczenia.
\[\frac15+\frac16=\frac6{30}+\frac5{30}=\frac{11}{30}\]
Krok 2. Odejmujemy od sumy docelowej
Wykonujemy obliczenia.
\[\frac7{15}-\frac{11}{30}=\frac{14}{30}-\frac{11}{30}=\frac3{30}=\frac1{10}\]
Odpowiedź
\[\boxed{\frac1{10}}\]
17
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 17 — Równanie tekstowe o plakatach Zobacz arkusz ↗ Basia ma \(b\) plakatów, Andrzej o 28 więcej, Marek trzy razy mniej. Andrzej i Marek mają razem dwa razy tyle co Basia.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zapisujemy liczby plakatów
Wykonujemy obliczenia.
\[B=b,\qquad A=b+28,\qquad M=\frac b3\]
Krok 2. Układamy równanie
Wykonujemy obliczenia.
\[b+28+\frac b3=2b\]
Krok 3. Rozwiązujemy
Wykonujemy obliczenia.
\[3b+84+b=6b\]
\[84=2b\]
\[b=42\]
Krok 4. Obliczamy pozostałe liczby
Wykonujemy obliczenia.
\[M=\frac{42}{3}=14,\qquad A=42+28=70\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{Basia }42,\ \text{Marek }14,\ \text{Andrzej }70}\]
18
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 18 — Kąty w trapezie i równoległoboku Zobacz arkusz ↗ Na rysunku podano kąty \(48^\circ\) i \(57^\circ\). Oblicz trzy brakujące kąty trapezu \(ABCD\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Kąt przy \(C\)
Kąty wewnętrzne trapezu przy jednym ramieniu sumują się do \(180^\circ\).
\[\angle BCD=180^\circ-48^\circ=132^\circ\]
Krok 2. Kąt części równoległoboku
Wykonujemy obliczenia.
\[\angle ECD=132^\circ-57^\circ=75^\circ\]
Krok 3. Pozostałe kąty
W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie sumują się do \(180^\circ\).
\[\angle DAB=75^\circ\]
\[\angle CDA=180^\circ-75^\circ=105^\circ\]
Odpowiedź
\[\boxed{75^\circ,\ 132^\circ,\ 105^\circ}\]
19
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 19 — Skala i porównywanie pól Zobacz arkusz ↗ Mała kwadratowa tablica ma na rysunku bok 3 cm w skali \(1:20\). Duża tablica ma wymiary rzeczywiste \(240\) cm na \(90\) cm.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy rzeczywisty bok małej tablicy
Wykonujemy obliczenia.
\[3\cdot20=60\ \text{cm}\]
Krok 2. Obliczamy pola
Wykonujemy obliczenia.
\[P_m=60^2=3600\ \text{cm}^2\]
\[P_d=240\cdot90=21600\ \text{cm}^2\]
Krok 3. Porównujemy pola
Wykonujemy obliczenia.
\[\frac{P_d}{P_m}=\frac{21600}{3600}=6\]
20
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 20 — Pole czworokąta w kwadracie Zobacz arkusz ↗ Kwadrat ma bok 15 cm. Punkty na bokach dzielą je w podanych stosunkach. Oblicz pole czworokąta \(AECF\).
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy odcinki
Wykonujemy obliczenia.
\[BE=2\cdot(15:5)=6\]
\[DF=2\cdot(15:3)=10\]
Krok 2. Obliczamy pola odcinanych trójkątów
Wykonujemy obliczenia.
\[P_{ABE}=\frac12\cdot15\cdot6=45\]
\[P_{ADF}=\frac12\cdot15\cdot10=75\]
Krok 3. Odejmujemy od pola kwadratu
Wykonujemy obliczenia.
\[P_{AECF}=15^2-45-75=225-120=105\ \text{cm}^2\]
21
Egzamin ósmoklasisty • 14 maja 2025 • matematyka
Zadanie 21 — Krawędzie ostrosłupa prawidłowego Zobacz arkusz ↗ Pole jednej ściany bocznej wynosi \(108\ \text{cm}^2\), a jej wysokość \(12\) cm. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.
✓ Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy krawędź podstawy
Ściana boczna jest trójkątem o podstawie \(a\) i wysokości \(12\).
\[108=\frac12a\cdot12\]
\[a=18\]
Krok 2. Obliczamy krawędź boczną
Wysokość ściany bocznej dzieli jej podstawę na połowy. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
\[c^2=12^2+9^2=144+81=225\]
\[c=15\]
Krok 3. Sumujemy krawędzie
Ostrosłup ma cztery krawędzie podstawy i cztery krawędzie boczne.
\[4a+4c=4\cdot18+4\cdot15=72+60=132\ \text{cm}\]