WZÓR NA MATMĘ← Wróć do materiałów
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2024 – rozwiązania

Pełne, przejrzyste opracowanie wszystkich 19 zadań. Każde rozwiązanie pokazuje pomysł, rachunki i jednoznaczną odpowiedź — w tym samym standardzie co materiały z 2025 roku.

Otwórz arkuszZacznij od zadania 1
Standard opracowania: poprawny zapis matematyczny, pełne rachunki, krótkie wyjaśnienia i czytelny wynik. W zadaniach z rysunkiem najważniejsze dane zostały zapisane tekstowo, a pełny rysunek jest dostępny po kliknięciu „Zobacz arkusz”.
1
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 1 — Procenty z diagramu

Zobacz arkusz ↗
Z diagramu odczytujemy czas nauki Ali: poniedziałek \(25\) min, wtorek \(30\) min, środa \(40\) min, czwartek \(35\) min, piątek \(50\) min i sobota \(30\) min. Oceń dwa podane zdania.

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Sprawdzamy czas od poniedziałku do czwartku

Dodajemy czasy z pierwszych czterech dni.

\[25+30+40+35=130\text{ min}=2\text{ h }10\text{ min}\]
Krok 2. Sprawdzamy zmianę z piątku na sobotę

W piątek Ala uczyła się 50 min, a w sobotę 30 min. Ubyło więc 20 min. Procent zmniejszenia liczymy względem czasu z piątku.

\[\frac{50-30}{50}\cdot100\%=\frac{20}{50}\cdot100\%=40\%\]
Krok 3. Oceniamy zdania

Pierwsze zdanie jest prawdziwe i drugie również jest prawdziwe.

2
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 2 — Ułamki

Zobacz arkusz ↗
Szukamy ułamków o mianowniku \(4\), większych od \(3\) i mniejszych od \(5\), których licznik jest liczbą naturalną.

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zapisujemy nierówność

Jeżeli licznik oznaczymy przez \(n\), to warunek z treści ma postać:

\[3<\frac{n}{4}<5\]
Krok 2. Usuwamy mianownik

Mnożymy wszystkie części nierówności przez \(4\).

\[12
Krok 3. Wypisujemy możliwe liczniki

Liczby naturalne spełniające warunek to:

\[n\in\{13,14,15,16,17,18,19\}\]
Krok 4. Liczymy ułamki

Mamy dokładnie siedem możliwych liczników, więc siedem ułamków.

3
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 3 — Średnia arytmetyczna

Zobacz arkusz ↗
Średnia arytmetyczna liczb \(12,14,k\) jest równa \(16\). Następnie trzeba ocenić dwa zdania.

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznaczamy liczbę \(k\)

Suma trzech liczb musi być równa trzy razy średnia.

\[12+14+k=3\cdot16=48\]
Krok 2. Obliczamy \(k\)

Odejmujemy \(26\) od obu stron równania.

\[k=48-26=22\]
Krok 3. Sprawdzamy średnią pięciu liczb

Dodajemy wszystkie pięć liczb i dzielimy przez \(5\).

\[\frac{12+14+22+11+17}{5}=\frac{76}{5}=15{,}2\]
Krok 4. Oceniamy zdania

Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Druga średnia wynosi \(15{,}2\), więc nie jest większa od \(16\).

4
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 4 — Działania na ułamkach

Zobacz arkusz ↗
Dane są liczby \(x=\frac45\cdot\left(-\frac43\right)\) oraz \(y=\frac45+\left(-\frac43\right)\). Określ znak liczby \(y\) i porównaj \(x\) z \(y\).

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Obliczamy \(x\)

Mnożymy liczniki i mianowniki.

\[x=\frac45\cdot\left(-\frac43\right)=-\frac{16}{15}\]
Krok 2. Obliczamy \(y\)

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika \(15\).

\[y=\frac45-\frac43=\frac{12}{15}-\frac{20}{15}=-\frac{8}{15}\]
Krok 3. Wyciągamy wnioski

Liczba \(y\) jest ujemna. Ponadto \(-\frac{16}{15}<-\frac{8}{15}\), więc \(x

5
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 5 — Kąty w trapezie

Zobacz arkusz ↗
W trapezie \(ABCD\) mamy \(AB\parallel DC\) oraz \(EC\parallel AD\). Kąt przy \(D\) ma \(135^\circ\), a kąt \(EBC\) ma \(80^\circ\). Oblicz \(\alpha=\angle ECB\).

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wykorzystujemy równoległość

Ponieważ \(AE\parallel DC\) i \(EC\parallel AD\), czworokąt \(ADEC\) jest równoległobokiem. Kąt przy \(E\) wewnątrz równoległoboku ma więc \(135^\circ\).

Krok 2. Wyznaczamy kąt trójkąta \(EBC\)

Promienie \(EA\) i \(EB\) tworzą linię prostą, więc kąt \(CEB\) jest dopełnieniem \(135^\circ\) do \(180^\circ\).

\[\angle CEB=180^\circ-135^\circ=45^\circ\]
Krok 3. Korzystamy z sumy kątów w trójkącie

W trójkącie \(EBC\) suma kątów wynosi \(180^\circ\).

\[\alpha=180^\circ-80^\circ-45^\circ=55^\circ\]
6
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 6 — Przekształcanie równania

Zobacz arkusz ↗
Dane jest równanie \(5x=\frac{y}{w}\), gdzie \(x,y,w\neq0\). Sprawdzamy, które z trzech podanych przekształceń są poprawne.

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznaczamy \(x\)

Dzielimy obie strony przez \(5\).

\[x=\frac{y}{5w}\]
Krok 2. Wyznaczamy \(y\)

Najpierw mnożymy równanie przez \(w\).

\[5xw=y\]
Krok 3. Wyznaczamy \(w\)

Z równania \(5xw=y\) dzielimy obie strony przez \(5x\).

\[w=\frac{y}{5x}\]
Krok 4. Porównujemy z propozycjami

Poprawne są równania I i III. Równanie II jest błędne, ponieważ powinno być \(y=5xw\), a nie \(y=\frac{5x}{w}\).

7
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 7 — Potęgi

Zobacz arkusz ↗
Oceń prawdziwość dwóch równości dotyczących potęg: \(3\cdot9^5=3^{11}\) oraz \(\frac{2^8\cdot2^7}{2^{10}}=2^5\).

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Pierwsza równość

Zapisujemy \(9\) jako \(3^2\), a następnie korzystamy z własności potęg.

\[3\cdot9^5=3\cdot(3^2)^5=3\cdot3^{10}=3^{11}\]
Krok 2. Druga równość

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki, a przy dzieleniu je odejmujemy.

\[\frac{2^8\cdot2^7}{2^{10}}=2^{8+7-10}=2^5\]
Krok 3. Oceniamy zdania

Obie równości są poprawne.

8
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 8 — Prawdopodobieństwo

Zobacz arkusz ↗
W pudełku było \(10\) czerwonych, \(8\) niebieskich, \(6\) zielonych i \(8\) żółtych balonów. Dwa pierwsze wylosowane balony były czerwone. Oblicz prawdopodobieństwo, że trzeci również będzie czerwony.

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Liczymy wszystkie balony

Na początku w pudełku były:

\[10+8+6+8=32\]
Krok 2. Uwzględniamy dwa pierwsze losowania

Po wyjęciu dwóch czerwonych balonów zostaje \(30\) balonów, w tym \(8\) czerwonych.

Krok 3. Obliczamy prawdopodobieństwo

Liczbę zdarzeń sprzyjających dzielimy przez liczbę wszystkich możliwych wyników.

\[P=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\]
9
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 9 — Wyrażenia algebraiczne

Zobacz arkusz ↗
Uprość wyrażenie \(x(x+4)-3(2x-5)\).

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Usuwamy nawiasy

Mnożymy \(x\) przez oba składniki pierwszego nawiasu oraz \(-3\) przez oba składniki drugiego nawiasu.

\[x(x+4)-3(2x-5)=x^2+4x-6x+15\]
Krok 2. Redukujemy wyrazy podobne

Łączymy \(4x-6x\).

\[x^2+4x-6x+15=x^2-2x+15\]
10
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 10 — Obliczenia z czasem

Zobacz arkusz ↗
Podróż planowo trwa \(2\) godziny \(54\) minuty. Pociąg przyjechał o \(17{:}31\) z czterominutowym opóźnieniem. O której godzinie wyjechał?

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznaczamy planową godzinę przyjazdu

Skoro pociąg spóźnił się \(4\) minuty, planowo miał przyjechać cztery minuty wcześniej.

\[17{:}31-0{:}04=17{:}27\]
Krok 2. Odejmujemy czas podróży

Od planowej godziny przyjazdu odejmujemy \(2\) godziny \(54\) minuty.

\[17{:}27-2{:}54=14{:}33\]
11
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 11 — Proporcjonalność prosta

Zobacz arkusz ↗
Z wykresu wynika, że \(5\) litrów farby wystarcza na \(50\,\mathrm{m^2}\), czyli \(1\) litr pokrywa \(10\,\mathrm{m^2}\). Oceń dwa zdania.

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Sprawdzamy pierwsze zdanie

Dla \(18\) litrów obliczamy pole powierzchni.

\[18\cdot10=180\,\mathrm{m^2}\]
Krok 2. Sprawdzamy drugie zdanie

Na \(125\,\mathrm{m^2}\) potrzeba:

\[\frac{125}{10}=12{,}5\text{ l}\]
Krok 3. Oceniamy zdania

Pierwsze zdanie jest prawdziwe. \(12\) litrów nie wystarczy na \(125\,\mathrm{m^2}\), więc drugie zdanie jest fałszywe.

12
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 12 — Współrzędne punktu

Zobacz arkusz ↗
Punkt \(P_1\) ma współrzędne \((-1,-2)\). Zwiększamy jego współrzędną \(x\) o \(4\), a współrzędną \(y\) o \(3\).

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zmieniamy współrzędną \(x\)

Dodajemy \(4\) do pierwszej współrzędnej.

\[-1+4=3\]
Krok 2. Zmieniamy współrzędną \(y\)

Dodajemy \(3\) do drugiej współrzędnej.

\[-2+3=1\]
Krok 3. Odczytujemy punkt

Otrzymujemy punkt \((3,1)\), który na rysunku jest oznaczony jako \(P_2\).

13
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 13 — Prostokąt podzielony na kwadraty

Zobacz arkusz ↗
Prostokąt o bokach \(a\) i \(b\) podzielono na sześć kwadratów. Trzeba wyznaczyć stosunek \(a:b\).

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Oznaczamy bok najmniejszego kwadratu

Niech bok jednego z trzech małych kwadratów na dole ma długość \(s\). Duży kwadrat nad nimi ma wtedy bok \(3s\).

Krok 2. Wyznaczamy wysokość prostokąta

Wysokość to bok dużego kwadratu oraz jeden mały kwadrat.

\[b=3s+s=4s\]
Krok 3. Wyznaczamy bok lewych kwadratów

Dwa jednakowe kwadraty po lewej zajmują całą wysokość \(4s\), więc bok każdego z nich ma \(2s\).

Krok 4. Wyznaczamy szerokość

Szerokość prostokąta to \(2s\) po lewej i \(3s\) po prawej.

\[a=2s+3s=5s\]
Krok 5. Tworzymy stosunek

a:b=5s:4s=5:4

14
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 14 — Pole trójkąta prostokątnego

Zobacz arkusz ↗
Trójkąt \(ADE\) jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi \(200\,\mathrm{cm^2}\). Odcinki przedłużające mają długości \(CE=7\) cm i \(BD=12\) cm.

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Obliczamy długość przyprostokątnej trójkąta \(ADE\)

Jeżeli każda przyprostokątna ma długość \(a\), to:

\[\frac{a^2}{2}=200\]
Krok 2. Rozwiązujemy równanie

Mnożymy przez \(2\) i wyciągamy pierwiastek.

\[a^2=400\qquad\Rightarrow\qquad a=\sqrt{400}=20\text{ cm}\]
Krok 3. Obliczamy przyprostokątne trójkąta \(ABC\)

Odejmujemy podane przedłużenia.

\[AC=20-7=13\text{ cm},\qquad AB=20-12=8\text{ cm}\]
Krok 4. Obliczamy pole \(ABC\)

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta prostokątnego.

\[P_{ABC}=\frac12\cdot13\cdot8=52\,\mathrm{cm^2}\]
Krok 5. Oceniamy zdania

Przyprostokątna \(ADE\) ma \(20\) cm, a pole \(ABC\) wynosi \(52\,\mathrm{cm^2}\). Oba zdania są prawdziwe.

15
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 15 — Pole powierzchni ostrosłupa

Zobacz arkusz ↗
Pole całkowite ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi \(P\), a pole jednej ściany bocznej wynosi \(\frac29P\).

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Liczymy pole powierzchni bocznej

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery jednakowe ściany boczne.

\[P_b=4\cdot\frac29P=\frac89P\]
Krok 2. Liczymy pole podstawy

Pole podstawy to różnica pola całkowitego i pola bocznego.

\[P_p=P-\frac89P=\frac19P\]
Krok 3. Porównujemy z jedną ścianą boczną

Jedna ściana boczna ma pole \(\frac29P\), a podstawa \(\frac19P\).

\[\frac19P=\frac12\cdot\frac29P\]
Krok 4. Wybieramy odpowiedzi

Pole boczne to \(\frac89P\) — odpowiedź B. Pole podstawy jest dwa razy mniejsze niż pole jednej ściany bocznej — odpowiedź C.

16
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 16 — Równanie z ułamkami

Zobacz arkusz ↗
Ela ułożyła \(\frac25\) swojego zestawu puzzli, a Ania \(\frac13\) swojego. Oba zestawy miały tyle samo elementów, a dziewczynki ułożyły razem \(440\) elementów.

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Oznaczamy liczbę elementów

Niech \(x\) oznacza liczbę elementów w jednym zestawie.

Krok 2. Układamy równanie

Suma części ułożonych przez obie dziewczynki wynosi \(440\).

\[\frac25x+\frac13x=440\]
Krok 3. Dodajemy ułamki

Wspólny mianownik to \(15\).

\[\frac6{15}x+\frac5{15}x=\frac{11}{15}x=440\]
Krok 4. Wyznaczamy \(x\)

Mnożymy obie strony przez \(\frac{15}{11}\).

\[x=440\cdot\frac{15}{11}=40\cdot15=600\]
17
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 17 — Pole trapezu

Zobacz arkusz ↗
W prostokącie \(ABCD\) mamy \(AD=20\) cm i \(DE=15\) cm. W trójkącie \(ACE\) kąty przy \(A\) i \(C\) są równe. Oblicz pole trapezu \(ABCE\).

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Obliczamy \(AE\)

Trójkąt \(ADE\) jest prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25\text{ cm}\]
Krok 2. Wykorzystujemy równe kąty

W trójkącie \(ACE\) równe kąty leżą naprzeciw równych boków, więc \(AE=EC\).

\[EC=25\text{ cm}\]
Krok 3. Wyznaczamy długość prostokąta

Górny bok prostokąta to \(DC=DE+EC\), a w prostokącie \(AB=DC\).

\[AB=DC=15+25=40\text{ cm}\]
Krok 4. Liczymy pole trapezu

Podstawami trapezu \(ABCE\) są \(AB=40\) cm i \(EC=25\) cm, a wysokość wynosi \(AD=20\) cm.

\[P=\frac{40+25}{2}\cdot20=650\,\mathrm{cm^2}\]
18
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 18 — Procenty i ceny

Zobacz arkusz ↗
Pan Jan sprzedał \(120\) kg truskawek: połowę w opakowaniach po \(1\) kg za \(18\) zł, \(10\%\) masy w opakowaniach po \(0{,}5\) kg za \(10\) zł, a resztę w opakowaniach po \(0{,}25\) kg za \(6\) zł.

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Duże opakowania

Połowa ze \(120\) kg to \(60\) kg, czyli \(60\) dużych opakowań.

\[60\cdot18=1080\text{ zł}\]
Krok 2. Średnie opakowania

Dziesięć procent ze \(120\) kg to \(12\) kg. Przy masie \(0{,}5\) kg na opakowanie otrzymujemy \(24\) opakowania.

\[12:0{,}5=24,\qquad24\cdot10=240\text{ zł}\]
Krok 3. Małe opakowania

Pozostało \(120-60-12=48\) kg. Jedno małe opakowanie ma \(0{,}25\) kg.

\[48:0{,}25=192,\qquad192\cdot6=1152\text{ zł}\]
Krok 4. Sumujemy przychód

Dodajemy kwoty ze wszystkich rodzajów opakowań.

\[1080+240+1152=2472\text{ zł}\]
19
Egzamin ósmoklasisty • 15 maja 2024 • matematyka

Zadanie 19 — Objętość ostrosłupa i wysokość wież

Zobacz arkusz ↗
Pierwsza wieża składa się z jednego sześcianu o krawędzi \(10\) cm i ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Druga wieża składa się z dwóch takich sześcianów. Podstawa ostrosłupa ma bok \(9\) cm, a jego objętość wynosi \(324\,\mathrm{cm^3}\).

✓ Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Obliczamy pole podstawy ostrosłupa

Podstawa jest kwadratem o boku \(9\) cm.

\[P_p=9^2=81\,\mathrm{cm^2}\]
Krok 2. Wyznaczamy wysokość ostrosłupa

Korzystamy ze wzoru \(V=\frac13P_ph\).

\[324=\frac13\cdot81\cdot h=27h\]
Krok 3. Obliczamy \(h\)

Dzielimy przez \(27\).

\[h=\frac{324}{27}=12\text{ cm}\]
Krok 4. Obliczamy wysokości wież

Pierwsza wieża ma wysokość \(10+12=22\) cm, a druga \(10+10=20\) cm.

Krok 5. Obliczamy różnicę

22-20=2\text{ cm}