1
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 1 — Proporcje w przepisie Zobacz arkusz ↗ Przepis na 8 gofrów wymaga 2 jajek i \\(1\frac13\\) szklanki mleka. Sprawdź dane dla 40 i 72 gofrów.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Jajka na 40 gofrów
40 gofrów to pięć razy więcej niż 8.
\[2\cdot5=10\]
Krok 2. Mleko na 72 gofry
72 gofry to dziewięć razy więcej niż 8.
\[1\frac13\cdot9=\frac43\cdot9=12\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{P, P}}\]
2
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 2 — Potęga i NWW Zobacz arkusz ↗ Hasło ma postać **T**. Pierwsza liczba to \\(4^3\\), a druga to najmniejszy wspólny mianownik ułamków \\(\frac1{15}\\) i \\(\frac1{25}\\).
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Obliczamy sześcian
Potęgujemy liczbę 4.
\[4^3=64\]
Krok 2. Obliczamy NWW mianowników
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze.
\[15=3\cdot5,\qquad 25=5^2,\qquad NWW(15,25)=3\cdot5^2=75\]
3
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 3 — Wartość wyrażeń algebraicznych Zobacz arkusz ↗ Spośród \\(G=2x^2+2\\), \\(H=2x^2+2x\\), \\(J=2x^2-2\\), \\(K=2x^2-2x\\) wybierz wyrażenie równe 0 dla \\(x=1\\) i \\(x=-1\\).
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Wykorzystujemy warunek \(x^2=1\)
Dla obu liczb \(1\) i \(-1\) kwadrat jest równy 1.
\[1^2=(-1)^2=1\]
Krok 2. Sprawdzamy \(J\)
Podstawienie obu liczb daje ten sam wynik.
\[J=2\cdot1-2=0\]
Krok 3. Kontrolujemy pozostałe wyrażenia
Wyrażenia z wyrazem liniowym \(x\) zmieniają wartość po zmianie znaku, a \(G\) jest dodatnie.
\[\boxed{J=2x^2-2}\]
4
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 4 — Proporcje — ustawienie książek Zobacz arkusz ↗ Na pierwszej półce o wysokości 21 cm mieści się 12 książek w dwóch rzędach. Druga półka ma szerokość 28 cm; książki ustawiamy obok siebie.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Obliczamy grubość książki
W jednym rzędzie pierwszej półki jest 6 książek ułożonych jedna na drugiej na wysokości 21 cm.
\[21:6=3{,}5\ \text{cm}\]
Krok 2. Obliczamy liczbę książek na drugiej półce
Dzielimy szerokość półki przez grubość książki.
\[28:3{,}5=8\]
5
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 5 — Działania na pierwiastkach Zobacz arkusz ↗ Oblicz \\(\sqrt{81}-\sqrt{49}\\) oraz \\(\sqrt{144}+\sqrt{25}\\).
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Pierwsze wyrażenie
Pierwiastki są liczbami całkowitymi.
\[\sqrt{81}-\sqrt{49}=9-7=2\]
Krok 2. Drugie wyrażenie
Analogicznie:
\[\sqrt{144}+\sqrt{25}=12+5=17\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{A, D}}\]
6
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 6 — Procenty — liczba drzew Zobacz arkusz ↗ Grusz jest o \\(40\\%\\) więcej niż jabłoni, a jednocześnie o 50 więcej. Oblicz liczbę jabłoni.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Oznaczamy liczbę jabłoni
Niech \(x\) oznacza liczbę jabłoni. Wtedy grusz jest \(1{,}4x\).
\[\text{jabłonie}=x,\qquad \text{grusze}=1{,}4x\]
Krok 2. Układamy równanie
Różnica liczby grusz i jabłoni wynosi 50.
\[1{,}4x-x=50\]
Krok 3. Rozwiązujemy
Obliczamy \(x\).
\[0{,}4x=50\Rightarrow x=125\]
7
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 7 — Prawa działań na potęgach Zobacz arkusz ↗ Uprość \\(\dfrac{10^8}{5^8}\\) oraz \\(2^6\cdot25^3\\).
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Iloraz potęg
Korzystamy z równego wykładnika.
\[\frac{10^8}{5^8}=\left(\frac{10}{5}\right)^8=2^8\]
Krok 2. Iloczyn potęg
Zapisujemy \(25^3=(5^2)^3=5^6\).
\[2^6\cdot25^3=2^6\cdot5^6=(2\cdot5)^6=10^6\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{B, D}}\]
8
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 8 — Zapisywanie wyrażeń algebraicznych Zobacz arkusz ↗ Liczbę \\(x\\) powiększono o 7 i wynik pomnożono przez 4. Liczbę \\(y\\) pomnożono przez 5 i wynik powiększono o 3.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Operacje na \(x\)
Najpierw dodajemy 7, dlatego potrzebny jest nawias.
\[4(x+7)\]
Krok 2. Operacje na \(y\)
Najpierw mnożymy przez 5, potem dodajemy 3.
\[5y+3\]
9
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 9 — Wierzchołki brył Zobacz arkusz ↗ Ostrosłup ma 16 wierzchołków. Ile wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie?
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Ustalamy liczbę boków podstawy
Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(n+1\) wierzchołków.
\[n+1=16\Rightarrow n=15\]
Krok 2. Liczymy wierzchołki graniastosłupa
Graniastosłup ma dwie takie podstawy.
\[2n=2\cdot15=30\]
10
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 10 — Skala mapy Zobacz arkusz ↗ Na planie w skali \\(1:4000\\) odległość między przystankami wynosi 8 cm. Oblicz rzeczywistą odległość.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Przeliczamy 1 cm planu
1 cm odpowiada 4000 cm, czyli 40 m.
\[4000\ \text{cm}=40\ \text{m}\]
Krok 2. Przeliczamy 8 cm
Mnożymy przez 8.
\[8\cdot40=320\ \text{m}\]
11
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 11 — Prawdopodobieństwo Zobacz arkusz ↗ W urnie jest 18 kul białych i 12 czarnych. Sprawdź dwa podane prawdopodobieństwa.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Liczba wszystkich kul
Dodajemy oba kolory.
\[18+12=30\]
Krok 2. Kula biała
Obliczamy udział białych kul.
\[P(B)=\frac{18}{30}=\frac35\]
Krok 3. Kula czarna
Porównujemy z \( rac13\).
\[P(C)=\frac{12}{30}=\frac25>\frac13\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{P, F}}\]
12
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 12 — Prostokąt i twierdzenie Pitagorasa Zobacz arkusz ↗ W prostokącie punkty \\(E\\) i \\(F\\) są środkami boków. Dane: \\(EC=6\\) cm i \\(EF=10\\) cm. Oblicz obwód prostokąta.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Obliczamy \(CF\)
Trójkąt \(ECF\) jest prostokątny.
\[CF^2+6^2=10^2\Rightarrow CF^2=64\Rightarrow CF=8\]
Krok 2. Odtwarzamy boki prostokąta
Ponieważ \(E\) i \(F\) są środkami boków, podwajamy długości.
\[BC=2\cdot6=12,\qquad CD=2\cdot8=16\]
Krok 3. Obwód
Dodajemy podwójne długości boków.
\[Obw=2(12+16)=56\ \text{cm}\]
13
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 13 — Prostopadłość i równoległość Zobacz arkusz ↗ Figura powstaje z kolejnych odcinków rysowanych według okresowej reguły. Oceń relacje prostych zawierających odcinki 1 i 7 oraz 5 i 33.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Odcinki 1 i 7
Są przekątnymi kratek skierowanymi w przeciwne strony, więc tworzą kąt prosty.
\[\ell_1\perp\ell_7\]
Krok 2. Odcinki 5 i 33
Kierunek powtarza się co cztery odcinki. Różnica numerów wynosi 28, czyli wielokrotność 4.
\[33-5=28=7\cdot4\Rightarrow \ell_5\parallel\ell_{33}\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{P, P}}\]
14
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 14 — Układanie figur Zobacz arkusz ↗ Z kwadratów o bokach 5 cm i 3 cm oraz prostokąta \\(3\times5\\) cm rozważamy ułożenie kwadratu o polu \\(49\\ \text{cm}^2\\).
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Wyznaczamy bok docelowego kwadratu
Kwadrat o polu 49 cm² ma bok 7 cm.
\[a=\sqrt{49}=7\ \text{cm}\]
Krok 2. Sprawdzamy możliwe sumy boków
Dostępne odcinki mają długości 3 cm i 5 cm; ich sumy nie dają 7 cm.
\[3+3=6,\qquad 3+5=8\]
Krok 3. Wniosek
Bez rozcinania figur nie uzyskamy boku długości 7 cm.
Odpowiedź
\[\boxed{\text{Nie, uzasadnienie 3 (B3)}}\]
15
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 15 — Kąty w czworokącie Zobacz arkusz ↗ Przekątna \\(AC\\) dzieli czworokąt na trójkąt równoboczny \\(ACD\\) i równoramienny \\(ABC\\). Dane: \\(\angle BCD=131^\circ\\).
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Kąt \(ACB\)
W trójkącie równobocznym \(ngle ACD=60^\circ\).
\[\angle ACB=131^\circ-60^\circ=71^\circ\]
Krok 2. Kąt \(ABC\)
Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, więc kąty przy podstawie są równe.
\[\angle ABC=71^\circ\neq60^\circ\]
Krok 3. Kąt \(CAB\)
Suma kątów w trójkącie wynosi 180°.
\[\angle CAB=180^\circ-2\cdot71^\circ=38^\circ\]
Krok 4. Kąt \(DAB\)
Dodajemy \(60^\circ\) z trójkąta równobocznego.
\[\angle DAB=60^\circ+38^\circ=98^\circ\]
Odpowiedź
\[\boxed{\text{F, P}}\]
16
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 16 — Równanie — ceny biletów Zobacz arkusz ↗ Bilet do teatru kosztuje o 64 zł więcej niż bilet do kina. Za 4 bilety do teatru i 5 do kina zapłacono 400 zł.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Wprowadzamy niewiadomą
Niech \(x\) oznacza cenę biletu do kina. Wtedy bilet do teatru kosztuje \(x+64\).
\[x\ \text{— kino},\qquad x+64\ \text{— teatr}\]
Krok 2. Układamy równanie
Zapisujemy koszt wszystkich dziewięciu biletów.
\[4(x+64)+5x=400\]
Krok 3. Rozwiązujemy równanie
Porządkujemy wyrazy.
\[4x+256+5x=400\Rightarrow9x=144\Rightarrow x=16\]
Krok 4. Cena biletu do teatru
Dodajemy 64 zł.
\[16+64=80\ \text{zł}\]
17
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 17 — Prędkość i droga Zobacz arkusz ↗ Pociąg przejeżdża 700 m w 50 s. Z tą samą prędkością drogę równą swojej długości pokonuje w 15 s.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Obliczamy prędkość
Dzielimy drogę przez czas.
\[v=\frac{700}{50}=14\ \mathrm{m/s}\]
Krok 2. Obliczamy długość pociągu
W 15 s pociąg pokonuje drogę równą własnej długości.
\[s=vt=14\cdot15=210\ \text{m}\]
18
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 18 — Pole trójkątów Zobacz arkusz ↗ Czworokąt ma pole \\(48\\ \text{cm}^2\\). Przekątna \\(AC=8\\) cm. Wysokość trójkąta \\(ACD\\) do \\(AC\\) ma 2 cm. Oblicz analogiczną wysokość trójkąta \\(ABC\\).
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Pole trójkąta \(ACD\)
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta.
\[P_{ACD}=\frac12\cdot8\cdot2=8\ \text{cm}^2\]
Krok 2. Pole trójkąta \(ABC\)
Odejmujemy od pola całego czworokąta.
\[P_{ABC}=48-8=40\ \text{cm}^2\]
Krok 3. Wyznaczamy wysokość
Podstawą jest ta sama przekątna \(AC=8\) cm.
\[40=\frac12\cdot8\cdot h\Rightarrow40=4h\Rightarrow h=10\ \text{cm}\]
19
Egzamin ósmoklasisty • 23 maja 2023 • matematyka
Zadanie 19 — Objętość prostopadłościanu Zobacz arkusz ↗ Z pięciu jednakowych prostopadłościennych klocków ułożono figurę. Z rysunku odczytujemy wymiary 23 cm, 20,5 cm i 5 cm.
✓ Rozwiązanie krok po krokuKrok 1. Krótszy wymiar klocka
Różnica dwóch podanych długości daje szerokość klocka.
\[23-20{,}5=2{,}5\ \text{cm}\]
Krok 2. Dłuższy wymiar klocka
Od 20,5 cm odejmujemy szerokość.
\[20{,}5-2{,}5=18\ \text{cm}\]
Krok 3. Objętość
Wymiary klocka to \(5\), \(2{,}5\) i \(18\) cm.
\[V=5\cdot2{,}5\cdot18=225\ \text{cm}^3\]